Wahrscheinlichkeit, dass von 8 Personen mindestens 3 am gleichen Wochentag Geburtstag haben?

Question

Aufgabe:

Wie wahrscheinlich ist es, dass von 8 Personen mindestens 3 am gleichen Wochentag Geburtstag haben?

Problem/Ansatz:

Ab 8 Personen sind es ja auf jeden Fall mindestens zwei, die am gleichen Wochentag Geburtstag haben.
Jetzt habe ich Probleme, die dritte Person dazuzubekommen.
Berechnen könnte man es vermutlich über die Gegenwahrscheinlichkeit, aber da komme ich nicht weiter.
1 - P(genau zwei am gleichen Tag). Stimmt das erst einmal? Und wie komme ich auf die Wahrscheinlichkeit P(genau zwei am gleichen Tag). Bis 7 Personen fände ich es logisch, bei 8 habe ich Probleme.

Lieben Dank

Comments

Hallo,

bei Aufgaben, die mindestens oder höchstens enthalten, ist es oft sinnvoll, das Gegenereignis zu untersuchen.

Hier wäre das:

Von 8 Personen haben höchstens zwei am gleichen Wochentag Geburtstag.

"Genau zwei" muss ja nicht sein, da z.B. je 2 am Mo, Di und Mi und einer am Do Geburtstag haben könnten.

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Stimmt, danke für die schnelle Rückmeldung. Da hatte ich einige Fälle nicht beachtet. Nun hänge ich aber schon wieder.

Meine Überlegungen für höchstens zwei:

1. 1 Tag ist doppelt besetzt, alle anderen einfach -> 7 Möglichkeiten (7 über 1?)

2. 2 Tage doppelt besetzt, kombiniert mit 4 der restlichen 5 Tage -> (7 über 2)*(5 über 4)

3. 3 Tage doppelt besetzt, kombiniert mit 2 der restlichen 4 Tage -> (7 über 3)*(4 über 2)

4. 4 Tage doppelt besetzt -> (7 über 4)

Stimmt das so weit? Und wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt? 7 hoch 8?

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Ich habe leider noch keine Lösung, aber es müssen deutlich mehr Möglichkeiten bei einem Tag doppelt sein. Person 1 z.B. am Montag und dann kombiniert mit allen anderen 7 Personen. Dann Person 2 am Montag mit den restlichen 6 etc. Und das gleiche Spiel dann für alle 7 Wochentage.

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Hallo,

zunächst, wenn es um Wahrscheinlichkeiten geht: Der Grundraum sind alle Listen \(x_1, \ldots x_8\), wobei \(x_i=1, \ldots 7\). Dabei beideutet \(x_i=k\), dass Person i am Tag k Geburtstag hat. Also \(7^8\) gleich wahrscheinliche Möglichkeiten.

Wenn Du jetzt den ersten FAll abzählst, also genau ein doppelter Wochentag, dann:

Wähle 2 Plätze für den doppelten Tag: \({ 8 \choose 2}\) Möglichkeiten.
Wähle den Doppeltag: 7 Möglichkeiten
Besetze die anderen Plätze: 6! Möglichkeiten (es kommt ja auch auf die Reihenfolge der Besetzung an.)

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Alles sehr kompliziert

Gruß Mathhilf