Analysis 1: Doppelsummen ausrechnen. k,l=1 bis 4 und weitere.

Question

Aufgabe:

Der Umgang mit einer häufig verwendeten Schreibweise für sogenannte Doppelsummen (d. h. es wird über zwei verschiedene Indices \( k \) und \( \ell \) summiert) soll im Folgenden anhand des Ausdrucks

\( \sum \limits_{k, \ell=1}^{4} \frac{(-1)^{k}}{k+\ell} \)

erlernt werden. Diese Doppelsumme ist dabei so zu verstehen, dass jedem Indexpaar \( (k, \ell) \) der Summand \( \frac{(-1)^{k}}{k+\ell} \) zugeordnet ist (es treten demnach insgesamt 16 Summanden auf). Eine äquivalente, häufig benützte Schreibweise für obige Doppelsumme ist

\( \sum \limits_{1 \leq k, \ell \leq 1} \frac{(-1)^{k}}{k+\ell} \)

Berechnen Sie diese. Analog kann man auch bei Produkten über mehrere Indices multiplizieren. Berechnen Sie

\( \prod \limits_{1 \leq k<\ell \leq 5} \frac{k}{k+\ell} \)

Beachten Sie dabei, dass das Produkt hier nur über diejenigen \( k, \ell \in\{1, \ldots, 5\} \) mit \( k<\ell \) gebildet wird.

Comments

Das ist nun wirklich keine schwierige Aufgabe, du musst doch nur einsetzen. Wo hakt es denn bei dir?

Ohne dir jetzt zu nahe treten zu wollen: Wenn du Probleme hast, einfach Konzepte wie Doppelsummen zu verstehen und du scheinbar auch nicht auf die Idee gekommen bist, die zwei Wörter "doppelsumme berechnen" bei einer Suchmaschine deiner Wahl einzutippen, dann kann ich dir nur empfehlen, über einen Wechsel des Studiengangs nachzudenken, auch im Hinblick auf die anderen Fragen, die du parallel gestellt hast. Denn auch dort kommen überwiegend Basics vor, die keine so enormen Probleme machen sollten.

Answer 1

Die 16 Summanden sind erst Mal 4 für k=1
(-1)^1 / 1+1    +  (-1)^1 / 1+2      +  (-1)^1 / 1+3        +  (-1)^1 / 1+4    =   - 1/2    -1/3   - 1/4    -1/5  
dann 4 Stück mit k=2
  (-1)^2 / 2+1    +      (-1)^2 / 2+2    +     (-1)^2 / 2+3    +       (-1)^2 / 2+4   =   1/3   +   1/4    +   1/5    +   1/6
dann 4 Stück mit k=3
  (-1)^3 / 3+1    +       (-1)^3 / 3+2    +      (-1)^3 / 3+3    +      (-1)^3 / 3+4    =   -1/ 4   - 1/5    - 1/6   - 1/ 7
dann 4 Stück mit k=4
  (-1)^4 / 4+1    +     (-1)^4 / 4+2    +    (-1)^4 / 4+3    +   (-1)^4 / 4+4        =    1/5  +   1/6   +  1/7    +  1/8
Alle 16 zusammen ergeben die gesuchte Summe.
- 1/2    -1/3   - 1/4    -1/5   +1/3   +   1/4    +   1/5    +   1/6   -1/ 4   - 1/5    - 1/6   - 1/ 7   + 1/5  +   1/6   +  1/7    +  1/8
Da manche mit + und mit - vorkommen,
heben sie sich auf und es bleibt nur auszurechnen:

- 1/2    +   1/6   -1/ 4    +  1/8