Beweisprinzip der vollständigen Induktion. Zeigen Sie, dass gilt Π (1 - 1/k) = 1/n

Question

Aufgabe Analysis 1:

Verinnerlichen Sie das Beweisprinzip der vollständigen Induktion, indem Sie Ihre Vorlesungsunterlagen, insbesondere den Beweis der Bernoulli-Ungleichung, nachvollziehen. Zeigen Sie dann, dass gilt

\( \prod \limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{n} \)

für alle \( n \in \mathbb{N}, n \geq 2 \). Weiters definieren wir für eine natürliche Zahl \( n \in \mathbb{N} \) die sogenannte Fakultät n! dieser Zahl als \( n !:=\prod \limits_{i=1}^{n} i \).

Zeigen Sie, dass für alle \( n \in \mathbb{N}_{\geq 2} \) gilt

\( \frac{4^{n}}{n+1}<\frac{(2 n) !}{(n !)^{2}} \)

Answer 1

5a   Ind.anfang  n=2    1-1/2   =  1/2   stimmt.
    angenommen, es stimmt für ein n>1 dann bleibt zu zeigen
     
Produkt von bis n+1 über ...     =    1 / n+1
und das sieht man so:

Produkt von bis n+1 über ...     =   Produkt von bis n über ...      * ( 1 - 1 / (n+1) )
                                                        =                         1/n          *   ( (n+1)/(n+1)   - 1 / (n+1)   )
                                                       =                         1/n          *    n/(n+1) 
                                                           = 1 / (n+1)   fertig.

vom Rest probier mal was und stell es rein.