Zeigen Sie mit der vollständigen Induktion, dass P(n) => P(n+1)

Question

Aufgabe: Vollständige Induktion

P (n) sei die Aussageform

6 teilt 2 ^n + 3^n -5^n für jede natürliche Zahl n .

Problem/Ansatz: Beim Induktionschritt komme ich nicht weiter . Für jede Hilfe bin ich dankbar.

… Induktionsanfang P(1) = 0

 = > P(1) ist  richtig

Induktionsannahme :

6 teilt 2^n + 3^n -5^n  und wir können annehmen 2^n +3^n -5^n = 6r   r∈ℤ

zu zeigen ist : 6 teilt 2ⁿ⁺¹ +3ⁿ⁺¹ -5ⁿ⁺¹

Induktionsschritt :

2^n + 3^n -5^n + 2ⁿ⁺¹ +3ⁿ⁺¹ -5ⁿ⁺¹

wir setzen die Annahme ein und erhalten

 6r +2ⁿ⁺¹ +3ⁿ⁺¹ -5ⁿ⁺¹

= 6r + 2^n * 2 + 3^n * 3 -5 ^n * 5

leider komme ich hier nicht mehr weiter ..

Answer 1

\(\begin{aligned} & 2^{n+1}+3^{n+1}-5^{n+1}\\ =\,& 2\cdot2^{n}\phantom{+3\cdot2^{n}}+3\cdot3^{n}\phantom{+2\cdot3^{n}}-5\cdot5^{n}\\ =\,& 2\cdot2^{n}+3\cdot2^{n}+3\cdot3^{n}+2\cdot3^{n}-5\cdot5^{n}-3\cdot2^{n}-2\cdot3^{n}\\ =\,& 5\cdot\left(2^{n}+3^{n}-5^{n}\right)-3\cdot2^{n}-2\cdot3^{n} \end{aligned}\)

Comments

Hallo ist es so auch richtig

(2^n + 3^n -5^n) : 6 + (( 2 * 2^n +3* 3^n -5 *5^n )*6 ) : 6

= (2^n +3^n -5^n) : 6 + (12* 2^n +18 * 3^n -30 *5^n ) : 6



somit bewiesen

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Ich würde argumentieren, dass

        \(5\cdot\left(2^{n}+3^{n}-5^{n}\right)\)

nach Induktionsvoraussetzung durch \(6\) teilbar ist und

        \(3\cdot2^{n}\)

und

        \(2\cdot3^{n}\)

durch \(6\) teilbar sind weil sie \(2\) und \(3\) als Primfaktoren haben.

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Aber ist der die Rechnung von mir auch ok als Beweis ?

Answer 2

Hallo

2^n * 2 + 3^n *3 - 5^n(2+3)

2 lässt bei Division durch 3 den Rest 2  hinten Rest -2 also 0

3 lässt bei Division durch 2 den Rest 1  hinten dann-Rest 1

d.h bei Division durch 2*3 den Rest 0

Gruß lul

Comments

Hallo ist es so auch richtig

(2^n + 3^n -5^n) : 6 + (( 2 * 2^n +3* 3^n -5 *5^n )*6 ) : 6

= (2^n +3^n -5^n) : 6 + (12* 2^n +18 * 3^n -30 *5^n ) : 6

somit bewiesen