Wie kann ich das mit der vollständigen Induktion beweisen?

Question

Aufgabe:

Wenn \( x \) eine ungerade ganze Zahl ist, dann ist \( x^{n} \), für \( n \in \mathbb{N}^{+} \), ebenfalls ungerade.

Problem/Ansatz:

Wie kann ich das mit der vollständigen Induktion beweisen?

So habe ich angefangen:
1. \( \forall x,y\in\mathbb{Z}:( (2k+1) \rightarrow \forall n \in \mathbb{N}^{+} \) : \( (2k+1)^{n} \) )

Aber seit gestern fühle ich mich komplett lost... :(

Answer 1

Sei x=eine ungerade Zahl. Dann gibt es ein k∈ℤ mit x=2k+1.

Für n=1 ist x^1 = x also ungerade .

Sei es nun für ein \( n \in \mathbb{N}^{+} \) erfüllt, also x^n ungerade.

Dann gilt x^(n+1) = x^n * x = x^n * (2k+1)= 2k*x^n + x^n .

Bei der letzteren Summe ist der 1. Summand gerade (wegen 2k)

und der 2. nach Ind. annahme ungerade.

gerade + ungerade gibt immer ungerade, also x^(n+1) ungerade. q.e.d.

Answer 2

Willst du wirklich x und y ∈ ℤ definieren wenn du nachher k und n benutzt?

IA.

(2k + 1)^1 = 2k + 1 ist ungerade

IS

(2k + 1)^(n + 1) = (2k + 1)·(2k + 1)^n

(2k + 1) ist ungerade und (2k + 1)^n ist durch die Induktionsvoraussetzung ungerade.

Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist wieder eine ungerade Zahl

(2m + 1)(2n + 1) = 4·m·n + 2·m + 2·n + 1 = 2·(2·m·n + m + n) + 1