Du willst also mittels vollständiger Induktion zeigen, dass folgendes gilt \( a^{n} \circ a^{m}=a^{n+m} \)?
Man zeigt diese Aussagen für \( n, m \in \mathbb{N} \) dann durch vollständige Induktion nach \( r=n+m \) - für \( r=0 \) ist \( a^{0} \circ a^{0}=e \circ e=e=a^{0+0} \);
Induktionsschritt:
\( a^{n} \circ a^{m+1}=a^{n} \circ\left(a^{m} \circ a\right)=\left(a^{n} \circ a^{m}\right) \circ a=a^{n+m} \circ a=a^{n+m+1} \) und \( a^{n+1} \circ a^{m}=(a \circ \) \( \left.a^{n}\right) \circ a^{m}=a \circ\left(a^{n} \circ a^{m}\right)=a \circ a^{n+m}=a^{n+m+1} \).
Falls \( n \) und \( m \) beide negativ sind, so folgt die Aussage indem man zu den Inversen übergeht. Falls \( n m=0 \), so ist die Gleichung ebenfalls klar. Sei nun unter Beachtung der Allgemeinheit \( n=r>0, m=-s<0 \):
Im Fall \( r-s \geq 0 \) ist \( a^{r}=a^{r-s+s}=a^{r-s} \circ a^{s} \Rightarrow a^{n} \circ a^{m}=a^{r} \circ a^{-s}=a^{r-s}=a^{n+m} \);
Im Fall \( r-s<0 \) ist \( a^{s-r} \circ a^{r}=a^{s} \Rightarrow a^{n} \circ a^{m}=a^{r} \circ a^{-s}=a^{r-s}=a^{n+m} \).
Als Vorüberlegung wäre noch folgendes zu zeigen:
\( a^{-r}=\left(a^{-1}\right)^{r}=\left(a^{r}\right)^{-1} \) für \( r \in \mathbb{N} \).
Induktionsanfang: Für \( r=0 \) ist \( a^{-0}=a^{0}=\left(a^{-1}\right)^{0}=\left(a^{0}\right)^{-1}=e \)
Induktionsschritt: \( a^{-(r+1)}=a^{-r} \circ a^{-1}=\left(a^{-1}\right)^{r} \circ a^{-1}=\left(a^{-1}\right)^{r+1} \) und \( a^{-(r+1)}= \) \( a^{-r} \circ a^{-1}=\left(a^{r}\right)^{-1} \circ a^{-1}=\left(a \circ a^{r}\right)^{-1}=\left(a^{r+1}\right)^{-1} \), wobei man \( a \circ a^{r}=a^{r+1} \) verwendet!
