Was ist falsch an dieser vollständigen Induktion?

Question

Aufgabe:

wie im Bild zu sehen, ist die gegebene Aussage induktiv für zwei Fälle (gerade und ungerade) zu beweisen. Im Bild habe ich mich an dem Fall für gerades n versucht, doch irgendwie erhalte ich nicht die Induktionsbehauptung.

Was mache ich falsch? 

Answer 1

Induktionsschritt n → n + 1

für ungerade n und gerade n + 1
∑ (k = 1 bis n + 1) ((-1)^k·k) = (n + 1)/2
∑ (k = 1 bis n) ((-1)^k·k) + ((-1)^(n + 1)·(n + 1)) = (n + 1)/2
(-(n + 1)/2) + (1·(n + 1)) = (n + 1)/2
wahr

für gerade n und ungerade n + 1
∑ (k = 1 bis n + 1) ((-1)^k·k) = -((n + 1) + 1)/2
∑ (k = 1 bis n) ((-1)^k·k) + ((-1)^(n + 1)·(n + 1)) = -((n + 1) + 1)/2
n/2 + (-1·(n + 1)) = -((n + 1) + 1)/2
wahr

Comments

1.) Warum setzen Sie in der 5. Zeile nicht die Induktionsvoraussetzung ein?

2.) Wie kommen Sie von der 5.Zeile auf (n+1)/2 (-(n+1)/2)+(n+1)=(n+1)/2 ?

MFG Pascal

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1.) Warum setzen Sie in der 5. Zeile nicht die Induktionsvoraussetzung ein?

Hab ich doch gemacht.

2.) Wie kommen Sie von der 5.Zeile auf (n+1)/2 (-(n+1)/2)+(n+1)=(n+1)/2 ?

(-(n + 1)/2) + (1·(n + 1)) = (n + 1)/2

Kannst du selber mal diese Gleichung vereinfachen. Das traue ich dir zu oder meinst du das schaffst du nicht? Dann probier es mal.

Es bietet sich eventuell an gleich am Anfang mit 2 zu multiplizieren.

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Aber (n+1)/2 in der 5.Zeile ist doch die Induktionsbehauptung. Die Induktionsvoraussetzung wäre doch (n/2).

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für ungerade n und gerade n + 1

in ∑ (k = 1 bis n) ((-1)^k·k) ist n also ungerade und ist daher durch (-(n + 1)/2) zu ersetzen. Ich setze also die Voraussetzung ein. Die Behauptung steht dabei ja schon lange auf der rechten Seite.

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Danke, habs verstanden! ;)