Hilfe beim Logarithmus

Question

gegeben ist folgende Aufgabe:

Vereinfachen Sie so weit wie möglich:

$$\frac{log_{b^2}{a}}{log_{b}{a}}$$

Das Ergebnis ist 1/2.

Kann mir jemand erklären, wie man da drauf kommt?

Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

Aloha :)

Du kannst den Logarithmus von a zu einer Basis b immer auf den natürlichen Logarithmus zurückführen: \(\log_b(a)=\ln(a)/\ln(b)\). Damit hast du:$$\frac{\log_{b^2}(a)}{\log_b(a)}=\frac{\frac{\ln(a)}{\ln(b^2)}}{\frac{\ln(a)}{\ln(b)}}=\frac{\ln(a)}{\ln(b^2)}\cdot\frac{\ln(b)}{\ln(a)}=\frac{\ln(b)}{\ln(b^2)}=\frac{\ln(b)}{2\ln(b)}=\frac{1}{2}$$

Answer 2

Sei \(log_{b^2}a=x  \)  und  \(log_{b}a=y  \).

Offensichtlich gilt dann

a=(b²)^x und

a=b^y.

Somit gilt (b²)^x=b^y , also b^2x=b^y und deshalb 2x=y.

Answer 3

log_b^2(a) = log_b(a)/log_b(b^2) =log_b(a)/2

Damit kannst du kürzen.

Answer 4

$$ \dfrac{\log_{b^2}{(a)}}{\log_{b}{(a)}} = \dfrac{\log_{a}{(b)}}{\log_{a}{(b^2)}} = \dots = \dfrac{1}{2}.$$