gegeben ist folgende Aufgabe:
Vereinfachen Sie so weit wie möglich:
$$\frac{log_{b^2}{a}}{log_{b}{a}}$$
Das Ergebnis ist 1/2.
Kann mir jemand erklären, wie man da drauf kommt?
Vielen Dank im Voraus :)
Aloha :)
Du kannst den Logarithmus von a zu einer Basis b immer auf den natürlichen Logarithmus zurückführen: \(\log_b(a)=\ln(a)/\ln(b)\). Damit hast du:$$\frac{\log_{b^2}(a)}{\log_b(a)}=\frac{\frac{\ln(a)}{\ln(b^2)}}{\frac{\ln(a)}{\ln(b)}}=\frac{\ln(a)}{\ln(b^2)}\cdot\frac{\ln(b)}{\ln(a)}=\frac{\ln(b)}{\ln(b^2)}=\frac{\ln(b)}{2\ln(b)}=\frac{1}{2}$$
Sei \(log_{b^2}a=x \) und \(log_{b}a=y \).
Offensichtlich gilt dann
a=(b²)x und
a=by.
Somit gilt (b²)x=by , also b2x=by und deshalb 2x=y.
log_b^2(a) = log_b(a)/log_b(b^2) =log_b(a)/2
Damit kannst du kürzen.
$$ \dfrac{\log_{b^2}{(a)}}{\log_{b}{(a)}} = \dfrac{\log_{a}{(b)}}{\log_{a}{(b^2)}} = \dots = \dfrac{1}{2}.$$
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