Weiter so:
Nimm an, dass für ein n die Beh.gilt
\( \sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=n \cdot 2^{n-1} \)
(Induktionsannahme) und zeige (mit den bekannten
Formeln etc.) , dass es dann auch
für n+1 gilt, etwa so :
\( \sum \limits_{k=1}^{n+1} k \cdot\left(\begin{array}{l}n+1 \\ k\end{array}\right) \)
\( \sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot\left(\begin{array}{l}n+1 \\ k\end{array}\right) + (n+1) \cdot\left(\begin{array}{l}n+1 \\ n+1\end{array}\right) \)
\( \sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot\left(\begin{array}{l}n+1 \\ k\end{array}\right) + (n+1) \)
\(=\sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot(\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ k-1\end{array}\right)) + (n+1)\)
\( =\sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) +\sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k-1\end{array}\right) + (n+1)\)
Bei der 2. Summe den Index verschieben.
\( =\sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) +\sum \limits_{k=0}^{n-1} (k+1)\cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) + (n+1)\)
Bei der 2. Summe ist der erste Summand 1 , also
\( =\sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) +1+\sum \limits_{k=1}^{n-1} (k+1) \cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) + (n+1)\)
Summen angleichen
\( =\sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) +\sum \limits_{k=1}^{n} (k+1) \cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) -(n+1) + (n+1)\)
\( =2 \cdot \sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) +\sum \limits_{k=1}^{n} \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) +1\)
Jetzt die Ind.annahme
\( =2 \cdot n \cdot 2^{n-1} + \sum \limits_{k=1}^{n} \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) +1\)
Jetzt die Ind.annahme
\( =n \cdot 2^{n} + (2^{n} -1) +1 = (n+1) \cdot 2^n \)
