Funktion hat eine Definitionslücke

Question

Aufgabe:

Die Funktion f hat an der Stelle x0 eine Definitionslücke. Untersuchen Sie mit Testeinsetzungen, wie sich die Funktion verhält, wenn man sich dieser Stelle von links bzw. von rechts nähert.

a) f(x)= x^2-9/2x-6, x0=3

Problem/Ansatz:

Ich verstehe es nicht...

Answer 1

Hallo,

versuch es mit x=2,9 und x=3,1.

Dann mit 2,99 und 3,01 usw.

Man kann es auch so untersuchen:

f(x)= (x^{2}-9)/(2x-6)

f(x)=(x+3)(x-3)/(2(x-3))

=(x+3)/2

=0,5x+1,5     für x≠3

--> Lineare Funktion mit "Loch" bei x=3.

:-)

Comments

Ich habe meine Antwort ergänzt.

Answer 2

f ( x ) = x^2 - 9 / (2*x - 6 )
Beim Einsetzen von x = 3 gibt es eine Diviision durch
Null. Ein Funktionswert ist nicht definiert.

lim x -> 3(-) heißt auf dem Zahlenstrahl betrachtet
( etwas kleiner als 3 )

2 * 3(-) = ( etwas kleiner als 3 ) mal * 2 =
( etwas kleiner als 6 ) dann
( etwas kleiner als 6 ) - 6 = ( etwas kleiner als 0
oder 0(-)

9 / 0(-) ist minus ∞
- 9 / 0(-) ist plus ∞

lim x -> 3 [ x^2 - 9 / (2*x - 6 ) ]=  +∞

Comments

f(x)= x^2-9/2x-6

Bin ich Opfer fehlender Klammerung
f(x)= ( x^2-9 ) / ( 2x-6 )
geworden ?

Answer 3

x^2-9 = (x+3)(x-3)

2x-6 = 2*(x-3)

gekürzt ist f(x)  (x+3)/2

X=3 ist eine hebbare Lücke

-> f(3) = (3+3)/2 = 3

Die Fkt. nähert sich dem y-Wert y=3 an.

Answer 4

Wenn keinerlei Vorgaben zu beachten sind geht auch dieser Weg ( allerdings ist da die Kenntnis des Differenzierens nötig)

Weg über l´Hospital: ist möglich, da \( \frac{3^2-9}{2*3-6} \)=\( \frac{0}{0} \)

a) f(x)=\( \frac{x^2-9}{2*x-6} \) , x₀=3

\( \lim \limits_{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-9}{2 x-6}=\lim \limits_{x \rightarrow 3} \frac{2 x}{2}=3 \)