Funktion bei einer Definitionslücke nicht stetig?

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe sei es zu überprüfen, ob die folgende Funktion stetig ist.

$$\frac{4}{1-e^\frac{2}{x}}$$

Problem/Ansatz:

Da 0 eine Definitionslücke darstellt und der linke sowie rechte Grenzwert unterschiedlich sind, hätte ich gesagt, dass die Funktion stetig ist. Oder wäre die Funktion trotzdem nicht stetig?

Comments

Die Grenzwerte stimmen nicht überein bei der Annäherung von rechts bzw. links.

https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+4%2F%281-e%5E%282%2Fx%29%29

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Genau, normalerweise würde dies ja bedeuten, dass die Funktion nicht stetig ist. Da 0 jedoch aber eine Definitionslücke ist, sollte die Funktion doch eigentlich trotzdem stetig sein. Oder lässt sich das so dann nicht sagen.

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Da 0 jedoch aber eine Definitionslücke ist, sollte die Funktion doch eigentlich trotzdem stetig sein.

Wieso?

Du hast eine Sprungstelle bei x=0.

Answer 1

Es gibt nicht "stetig" einfach so, es gibt nur "stetig auf <Menge>" oder "stetig in <Punkt>". Leg Dich erstmal genau fest, wovon Du redest, dann klärt sich schon vieles.

In Definitionslücken ist eine Funktion nie stetig. Manchmal stetig ergänzbar in der Lücke, aber nie stetig.

Answer 2

f (x) = 4 / ( 1 - e^(2/x))
x -> - 0
2/-0 = - ∞
e^(-∞) = 0
1 -0 = 1
4 / 1 = 4

x -> + 0
2/+0 = +∞
e^(+∞) = ∞
1 -∞ = -∞
4 / -∞ = -0

Die Funktion f ist nicht stetig

Comments

2/-0 = - ∞

Ohje, das ist ggT22-Niveau und für Lernende nicht hilfreich.

Und dass f nicht stetig in 0 ist, war von Anfang an klar.

Answer 3

"Stetigkeit" bezieht sich auf Punkte oder Teilmengen des Definitionsbereichs. Also gilt

$$f:\R \setminus \{0\} \to \R, \quad f(x):=\frac{4}{1-\exp(2/x)}$$

ist stetig.

(Natürlich wäre es kooperativ, zu vermerken, dass es keine stetige Fortsetzung gibt.)

Answer 4

Deine Funktion, aufgefasst als Funktion \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\longrightarrow\mathbb{R}\) ist überall stetig, d.h. auf jedem Punkt seines Definitionsbereichs punktweise stetig. Wenn man von einer Funktion fragt, ob diese "stetig" ist, meint man oberes.

Die Frage, ob die Funktion im Punkt \(0\) stetig erweiterbar ist (d.h. es gibt eine stetige Funktion auf ganz \(\mathbb{R}\) deren Einschränkung auf den ursprünglichen Definitionsbereich deine alte Funktion ist), dann lautet die Antwort nein, da die Links- und Rechtsannäherungen unterschiedliche Grenzwerte haben.