Question

Ist die Funktion in der Definitionslücke stetig (fortsetzbar) oder nicht?

Aufgabe:

Stetigkeit oder nicht. Es gibt eine Definitionslücke bei -1

f(x)=(4x)/(x^2+2x+1)

t(x)=(x^4-5x^2+4)/(x^3+2x^2-5x-6)

Problem/Ansatz:

Weiß nicht wie man das macht. Bitte um Hilfe

i) wir sollen es irgendwie so aufschreiben. Nummer i ist ein Beispiel. Mir fehlt ii und iii

Answer 1

Wo der Nenner den Wert null annimmt, existiert eine Def.-Lücke.

f(x): x²+2x+1=0 → x₁= -1

t(x): x³+2x²-5x-6=0 → x₁=-3, x₂=-1, x₃=2

EDIT: Ursprünglich war nur an nach der Stetigkeit gefragt. 

Answer 2

f(x)=(4x)/(x²+2x+1) =\( \frac{4x}{(x+1)^2} \) Definitionslücke bei x = -1 (keine hebbare Lücke)

f(x)=(x⁴-5x²+4)/(x³+2x²-5x-6) =\( \frac{(x-1)(x^3+x^2x-4)}{(x+1)(x-2)(x+3)} \) Definitionslücken bei x=-1, x=2, x=-3 (keine davon hebbar)

Comments

keine davon hebbar

Warum nicht?

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Damit eine Definitionslücke hebbar ist müsste sie Nullstelle des Nenners und des Zählers sein. Die Nullstelle x = -1 vom Nenner ist allerdings keine Nullstelle des Zählers. Darum ist die Lücke nicht hebbar.

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Das Zitat bezieht sich auf die zweite Funktion. Deren Zähler hat an der Stelle -1 eine Nullstelle.

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Achso. Zweite Funktion

Nullstellen des Zählers bei: x = -2 ∨ x = 2 ∨ x = -1 ∨ x = 1

Nullstellen des Nenners bei: x = -3 ∨ x = 2 ∨ x = -1

Also dort sind welche hebbar.

Answer 3

Du meinst wahrscheinlich "stetig fortsetzbar oder nicht"? 

In den Definitionslücken ist die Funktion ja nicht definiert und damit auch nicht stetig. 

iii ist nicht stetig fortsetzbar in x=-1

Grund (x+1)^2 ist kein Faktor des Zählers 4x und kann daher nicht weggekürzt werden. 

f(x)=(4x)/(x^2+2x+1) = (4x)/(x+1)^2 

t(x)=(x^4-5x^2+4)/(x^3+2x^2-5x-6)

= ((x^2 -4)(x^2-1))/((x+1)(x^2 +x - 6))

= ((x-2)(x+2))(x-1)(x+1))/((x+1)(x-2)(x+3))  | kürzen, für x weder -1 noch 2

= ((x+2)(x-1))/(x+3)

D.h. die Defintionslücken x1= -1 und x2 = 2 sind stetig hebbar.

Definiere:

t(2):= (2+2)(2-1)/(2+3) = 4/5 = 0.8

t(-1) = (-1+2)(-1-1)/(-1+3) = 1*(-2)/2 = -1 

Kontrolle:

~plot~ (x^4-5x^2+4)/(x^3+2x^2-5x-6);{-1|-1};{2|0.8};x=-3 ~plot~

Answer 4

Für deine 1. Funktion
f ( x ) = (4x) / (x^2+2x+1)
Lösung durch einsetzen x = -1
f ( -1 ) = -4 / 0
Lücke : nicht definiert, Polstelle