Vollständige Induktion: Summe über i=0 nach k von i/2^i = 2 - (k+2)/2^k

Question

Aufgabe:

$$\sum_{i=0}^k \frac{i}{2^i} = 2 - \frac{k+2}{2^k}$$

Problem/Ansatz:

Ich komme bei der Induktion nicht weiter:

Für $$k=0:$$

$$\sum_{i=0}^0 \frac{i}{2^i}= 2 - \frac{0+2}{2^0}=0 \checkmark$$

Für $$k > 0:$$

$$\sum_{i=0}^{k+1} \frac{i}{2^i}= \sum_{i=0}^k \frac{i}{2^i} + \frac{k+1}{2^{k+1}}$$

Nach Induktionsvoraussetzung:

$$2- \frac{k+2}{2^k} + \frac{k+1}{2^{k+1}}$$

Wenn ich die Brüche zusammen addiere, ergibt es irgendwann ein Gewusel ohne dass die Induktion bewiesen ist.

Comments

Ausgehend von meinem obigen Ansatz:

$$=2-\frac{k+2}{2^k}+\frac{k+1}{2^{k+1}}$$

$$=2-\frac{(k+2)\cdot 2^{k+1}+(k+1)\cdot 2^k}{2^k \cdot 2^{k+1}}$$
$$=2-\frac{(k \cdot 2^{k+1}+2^{k+2}+2^k \cdot k+2^k) \cdot 2^k}{2^k \cdot 2^{k+1}}$$

Aber wie geht es weiter?

Theoretisch könnte ich nochmal dividieren und den Bruch auftrennen, aber dann komm ich wieder auf die erste Zeile: $$=2-\frac{k+2}{2^k} + \frac{k+1}{2^{k+1}}$$

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Vgl. auch mal mit https://www.mathelounge.de/485289/vollstandige-induktion-summe-von-bruchen-k-1-n-k-2-k-2-n-2-2-n

Answer 1

Bring doch mal die beiden hinteren Brüche auf den Hauptnenner

Comments

Ausgehend von meinem obigen Ansatz:

$$=2-\frac{k+2}{2^k}+\frac{k+1}{2^{k+1}}$$

$$=2-\frac{(k+2)\cdot 2^{k+1}+(k+1)\cdot 2^k}{2^k \cdot 2^{k+1}}$$
$$=2-\frac{(k \cdot 2^{k+1}+2^{k+2}+2^k \cdot k+2^k) \cdot 2^k}{2^k \cdot 2^{k+1}}$$

Aber wie geht es weiter?

Theoretisch könnte ich nochmal dividieren und den Bruch auftrennen, aber dann komm ich wieder auf die erste Zeile: $$=2-\frac{k+2}{2^k} + \frac{k+1}{2^{k+1}}$$

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Nein!!!

Der Hauptnenner ist 2^k+1

$$=2-\frac{(k+2)\cdot 2+(k+1)}{2^{k+1}}$$