Beweis durch vollständige Induktion Q(n): Summe der 2^i (1≤i≤n) gibt 2(2^n -1)

Question

Beweis durch vollständige Induktion:

\( Q(n): \sum \limits_{i=1}^{n} 2^{i}=2\left(2^{n}-1\right), \quad \forall n \in \mathbb{N} \)

Comments

Hier hat jemand nach der vollständigen Induktion für diese Formel gefragt, wenn allgemein 2=q ist.

Ich nehme an, dass du die Antwort dort auf deinen Spezialfall übertragen kannst.

https://www.mathelounge.de/12428/wie-schreibe-ich-hier-die-vollstandige-induktion-auf-1-q-2-q-n

(q^{n+1} - 1 ) / (q-1) = (2^{n+1} - 1)/1 = 2*2^n - 1

Da dort die Summe mit q^0=1 beginnt, ist das im Resultat eins mehr, als du hier brauchst.

Daher wird dein Resultat 2*2^n - 1 - 1 = 2*2^n - 2 = 2(2^n - 1)

Answer 1

Zu zeigen:

$$\sum _{ i=1 }^{ n }{ { 2 }^{ i } } =2({ 2 }^{ n }-1)$$


Für n = 1 gilt die Aussage, denn:$$\sum _{ i=1 }^{ 1 }{ { 2 }^{ i } } ={ 2 }^{ 1 }=2=2({ 2 }^{ 1 }-1)$$IV.:Gelte für beliebiges aber festes m ≥ n:$$\sum _{ i=1 }^{ m }{ { 2 }^{ i } } =2({ 2 }^{ m }-1)$$IB:Dann gilt für m+1:$$\sum _{ i=1 }^{ m+1 }{ { 2 }^{ i } } =2({ 2 }^{ m+1 }-1)$$Beweis:$$\sum _{ i=1 }^{ m+1 }{ { 2 }^{ i }= } \sum _{ i=1 }^{ m }{ { 2 }^{ i } }+{ 2 }^{ m+1 }$$IV:$$=2({ 2 }^{ m }-1)+{ 2 }^{ m+1 }={ 2*2 }^{ m }-2+{ 2 }^{ m+1 }={ 2 }^{ m+1 }-2+{ 2 }^{ m+1 }=2({ 2 }^{ m+1 }-1)$$Damit gilt wegen des Axioms von der vollständigen Induktion:$$\sum _{ i=1 }^{ n }{ { 2 }^{ i } } =2({ 2 }^{ n }-1)$$