Beweisen Sie mit vollständiger Induktion Summenformeln für ungerade Zahlen und Zweierpotenzen

Question

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion

\( \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^{i}}=2-\frac{n+2}{2^{n}} \)

Die Folgende (ungerade Zahlen) wurde bereits bewiesen. vgl. Kommentar.

\( \sum \limits_{i=1}^{n}(2 i-1)=n^{2} \)

Comments

a) ist dasselbe wie:

https://www.mathelounge.de/21387/beweisen-sie-per-induktion-1-3-5-2n-1-n²

Es ist besser, wenn du jeweils 2 Fragen stellst. So findet man eine beantwortete Frage einfacher wieder.

Answer 1

a)

Induktionsanfang: Sei n = 1

Linke Seite:

\( \sum \limits_{i=1}^{I}(2 i-1) \) also 2*1-1 ergibt 1

Rechte Seite:

1² = 1

Somit gilt der Induktionsanfang.

Die Induktionsannahme ist somit: (wobei in der Aufgabenstellung keine Definitionsmenge angegeben war)

\( \sum \limits_{i=1}^{n}(2 i-1)=n^{2} \)

Induktionsschritt: z.Z. Aus n folgt (n+1).

\( \sum \limits_{i=1}^{n+1}(2 i-1)=(n+1)^{2} \)

Linke Seite so umschreiben, das wir die Induktionsannahme verwenden (einsetzen) können:

\( \sum \limits_{i=1}^{n}(2 i-1)+(2(n+1)-1) \)

Nun können wir die Induktionsannahme einsetzen und erhalten für die linke Seite:

\( =n^{2}+(2(n+1)-1) \)
\( =n^{2}+2 n+2-1 \)
\( =n^{2}+2 n+1 \)

Die komplette Gleichung lautet dann:

\( n^{2}+2 n+1=(n+1)^{2} \)

Auf die rechte Seite wenden wir die 1.Binomische Formel an und erhalten:

\( n^{2}+2 n+1=n^{2}+2 n+1 \)

Da beide Seiten gleich sind, haben wir gezeigt, dass die Induktionsannahme auch für (n+1) gilt. Der Beweis ist somit abgeschlossen.

b)

Induktionsanfang:

Sei n = 1

Linke Seite:

\( \sum \limits_{i=1}^{I} \frac{i}{2^{i}} \) ergibt 1/2^1 = 1/2

Rechte Seite:

2 - (1+2) / (2^1)

= 2 - 3/2 = 1/2

Somit gilt der Induktionsanfang.

Die Induktionsannahme ist also:

\( \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^{i}}=2-\frac{n+2}{2^{n}} \)

Induktionsschritt: z.Z. aus n folgt (n+1):

\( \sum \limits_{i=1}^{n+1} \frac{i}{2^{i}}=2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \)

Linke Seite umschreiben, so dass man die Annahme verwenden kann.

\( \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^{i}}+\frac{n+1}{2^{n+1}} \)

Annahme einsetzen:

\( 2-\frac{n+2}{2^{n}}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \)

Und vereinfachen:

Answer 2

Zunächst zeige ich das es für n=1 gilt:

∑ _{i = 1 bis n} (i/2^i) = 2 - (n + 2)/2^n
∑ _{i = 1 bis 1} (i/2^i) = 2 - (1 + 2)/2^1
1/2 = 1/2

Nun zeige ich das es für n+1 gilt unter der Annahme das es für n gilt.

∑ _{i = 1 bis n+1} (i/2^i) = 2 - (n+1 + 2)/2^{n+1}
∑ _{i = 1 bis n} (i/2^i) + (n+1)/2^{n+1} = 2 - (n+1 + 2)/2^{n+1}
2 - (n + 2)/2^n + (n+1)/2^{n+1} = 2 - (n+1 + 2)/2^{n+1}
(n + 2)/2^n - (n+1)/2^{n+1} = (n+1 + 2)/2^{n+1}
(2n + 4)/2^{n+1} - (n+1)/2^{n+1} = (n+3)/2^{n+1}
(2n + 4 - n - 1)/2^{n+1} = (n+3)/2^{n+1}
(n + 3)/2^{n+1} = (n+3)/2^{n+1}

 

was zu beweisen war