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Beweis durch vollständige Induktion:

Q(n) : i=1n2i=2(2n1),nN Q(n): \sum \limits_{i=1}^{n} 2^{i}=2\left(2^{n}-1\right), \quad \forall n \in \mathbb{N}

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Hier hat jemand nach der vollständigen Induktion für diese Formel gefragt, wenn allgemein 2=q ist.

Ich nehme an, dass du die Antwort dort auf deinen Spezialfall übertragen kannst.

https://www.mathelounge.de/12428/wie-schreibe-ich-hier-die-vollstand…

(q^{n+1} - 1 ) / (q-1) = (2^{n+1} - 1)/1 = 2*2^n - 1

Da dort die Summe mit q^0=1 beginnt, ist das im Resultat eins mehr, als du hier brauchst.

Daher wird dein Resultat 2*2^n - 1 - 1 = 2*2^n - 2 = 2(2^n - 1)

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Zu zeigen:

i=1n2i=2(2n1)\sum _{ i=1 }^{ n }{ { 2 }^{ i } } =2({ 2 }^{ n }-1)


Für n = 1 gilt die Aussage, denn:i=112i=21=2=2(211)\sum _{ i=1 }^{ 1 }{ { 2 }^{ i } } ={ 2 }^{ 1 }=2=2({ 2 }^{ 1 }-1)IV.:Gelte für beliebiges aber festes m ≥ n:i=1m2i=2(2m1)\sum _{ i=1 }^{ m }{ { 2 }^{ i } } =2({ 2 }^{ m }-1)IB:Dann gilt für m+1:i=1m+12i=2(2m+11)\sum _{ i=1 }^{ m+1 }{ { 2 }^{ i } } =2({ 2 }^{ m+1 }-1)Beweis:i=1m+12i=i=1m2i+2m+1\sum _{ i=1 }^{ m+1 }{ { 2 }^{ i }= } \sum _{ i=1 }^{ m }{ { 2 }^{ i } }+{ 2 }^{ m+1 }IV:=2(2m1)+2m+1=22m2+2m+1=2m+12+2m+1=2(2m+11)=2({ 2 }^{ m }-1)+{ 2 }^{ m+1 }={ 2*2 }^{ m }-2+{ 2 }^{ m+1 }={ 2 }^{ m+1 }-2+{ 2 }^{ m+1 }=2({ 2 }^{ m+1 }-1)Damit gilt wegen des Axioms von der vollständigen Induktion:i=1n2i=2(2n1)\sum _{ i=1 }^{ n }{ { 2 }^{ i } } =2({ 2 }^{ n }-1)

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