Beweis durch vollständige Induktion:
Q(n) : ∑i=1n2i=2(2n−1),∀n∈N Q(n): \sum \limits_{i=1}^{n} 2^{i}=2\left(2^{n}-1\right), \quad \forall n \in \mathbb{N} Q(n) : i=1∑n2i=2(2n−1),∀n∈N
Zu zeigen: ∑i=1n2i=2(2n−1)\sum _{ i=1 }^{ n }{ { 2 }^{ i } } =2({ 2 }^{ n }-1)i=1∑n2i=2(2n−1) Für n = 1 gilt die Aussage, denn:∑i=112i=21=2=2(21−1)\sum _{ i=1 }^{ 1 }{ { 2 }^{ i } } ={ 2 }^{ 1 }=2=2({ 2 }^{ 1 }-1)i=1∑12i=21=2=2(21−1)IV.:Gelte für beliebiges aber festes m ≥ n:∑i=1m2i=2(2m−1)\sum _{ i=1 }^{ m }{ { 2 }^{ i } } =2({ 2 }^{ m }-1)i=1∑m2i=2(2m−1)IB:Dann gilt für m+1:∑i=1m+12i=2(2m+1−1)\sum _{ i=1 }^{ m+1 }{ { 2 }^{ i } } =2({ 2 }^{ m+1 }-1)i=1∑m+12i=2(2m+1−1)Beweis:∑i=1m+12i=∑i=1m2i+2m+1\sum _{ i=1 }^{ m+1 }{ { 2 }^{ i }= } \sum _{ i=1 }^{ m }{ { 2 }^{ i } }+{ 2 }^{ m+1 }i=1∑m+12i=i=1∑m2i+2m+1IV:=2(2m−1)+2m+1=2∗2m−2+2m+1=2m+1−2+2m+1=2(2m+1−1)=2({ 2 }^{ m }-1)+{ 2 }^{ m+1 }={ 2*2 }^{ m }-2+{ 2 }^{ m+1 }={ 2 }^{ m+1 }-2+{ 2 }^{ m+1 }=2({ 2 }^{ m+1 }-1)=2(2m−1)+2m+1=2∗2m−2+2m+1=2m+1−2+2m+1=2(2m+1−1)Damit gilt wegen des Axioms von der vollständigen Induktion:∑i=1n2i=2(2n−1)\sum _{ i=1 }^{ n }{ { 2 }^{ i } } =2({ 2 }^{ n }-1)i=1∑n2i=2(2n−1)
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos