Durch vollständige Induktion zeigen Summe (n über i = 1) i = n*(n+1) / 2

Question

Moin sitze an dieser Induktionsaufgabe gerade und komme bei dem Induktionsschritt nicht weiter, die Behauptung habe ich schon genutzt.

Aufgabe:

Zu zeigen ist

$$ \sum\limits_{i=1}^{n}{i}=\frac{n\cdot (n+1)}{2} $$

Answer 1

Hallo :-)

Ziehe den letzten Summanden aus der Summe raus:

$$\sum\limits_{i=1}^{n+1} i=\left(\sum\limits_{i=1}^n i\right)+(n+1)$$

und setze die Induktionsvoraussetzung

$$\sum\limits_{i=1}^n i=\frac{n\cdot (n+1)}{2}$$

ein. Danach nur noch rechnen.

Answer 2

Aloha :)

Wir sollen durch vollständige Induktion die bekannte Formel für die Gauß-Summe zeigen:$$\sum\limits_{i=1}^ni=\frac{n\cdot(n+1)}{2}$$

Veranlerung bei \(n=1\):$$\sum\limits_{i=1}^ni=\sum\limits_{i=1}^1i=1=\frac{1\cdot2}{2}=\frac{n\cdot(n+1)}{2}\quad\checkmark$$

Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):

$$\sum\limits_{i=1}^{n+1}i=(n+1)+\sum\limits_{i=1}^ni\stackrel{(\text{Ind.Vor.})}{=}(n+1)+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{2(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}$$$$\phantom{\sum\limits_{i=1}^{n+1}i}=\frac{2\cdot(n+1)+n\cdot(n+1)}{2}\stackrel{(\ast)}{=}\frac{(2+n)\cdot(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\quad\checkmark$$Im Schritt \((\ast)\) haben wir den Faktor \((n+1)\) rechts ausgeklammert.