Gibt es eine stetige Fortsetzung dieser Funktion? g(x) = (x^{3}-x-6)/((x-2)(x^{2}-1))

Question

ich habe eine Aufgabe gestellt bekommen, bin allerdings vollkommen ratlos.. :/

Aufgabe:

Gibt es eine stetige Fortsetzung der Funktion

g: ℝ→ ℝ , g(x)= $$\frac { { x }^{ 3 }-x-6 }{ (x-2)({ x }^{ 2 }-1) } $$

mit D_g=ℝ\{-1;1;2}

Hoffe, jemand kann mir einen Tipp geben.

Answer 1

Die fragen dich, ob die Definitionslücken stetig hebbar sind.

Das ist sicher nicht bei allen der Fall, da (x-2)(x^2 -1) ≠ x^3 - x- 6.

Wenn exakt so gefragt ist, wie du das geschrieben hast, ist die Antwort : Nein, denn -2 * (-1) = 2 ≠ 6.

EDIT: Schau einfach mal, ob du eine der Definitionslücken stetig heben kannst. Dann hast du zumindest eine Minierweiterung.

Kann ja sein, dass die Funktion an ein bis zwei Definitionslücken stetig gemacht werden kann.

Kürze den gegebenen Bruch so weit wie möglich. (z. B. Polynomdivison durch Faktoren des Nenners testen.)

Der Nenner und der Zähler haben beide eine der Nullstellen gemeinsam. Du kannst den Bruch kürzen und sagen, dass die Definitionslücke an der Stelle x = 2 stetig hebbar ist. Die andern beiden Definitionslücken sind aber Pole. Daher gibt es, wie eingangs erwähnt keine stetige Fortsetzung deiner Funktion auf ganz R.

~plot~(x^3 - x -6); (x-2)(x^2 - 1);x=1;x=-1;x=2; (x^3 - x -6)/((x-2)(x^2 -1))~plot~

Comments

In meiner Graphik kannst du die hebbare Definitionslücke daran erkennen, dass die gelbe Linie x=2 den schwarzen Graphen noch im endlichen Bereich "kreuzt". - D.h. x=2 ist kein Pol von f.

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Bitte. Gern geschehen!

Schau aber erst mal die Fragestellung auf deinem Blatt ganz genau an. "auf ganz R " ist keine stetige Fortsetzung möglich (oben blau)

Answer 2

Die Definitionslücken hast du schon angeführt.

Was dürfte gemeint sein? Gibt es hebbare Lücken.

Eine Polynomdivision ergibt

( x^2 + 2* x + 3 ) / ( x^2 -1 )

Dies wäre die sogenannte  " erweiterte Funktion "

D = ℝ \ { -1 ; 1 }

~plot~ ( x^2 + 2* x + 3 ) / ( x^2 -1 )  ~plot~

Comments

Ich verstehe leider die ganze Aufgabe nicht :/ Was genau muss ich denn tun?

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georgborn: Wird bei dir der Graph angezeigt?

Ich sehe leider nichts .

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ich auch nicht

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Ich auch noch nichts.
Ich stehe mit dem Plotter auf Kriegsfuß.
Die Grafik kommt aber noch.

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EDIT: Habe in meiner Antwort noch einen Graphen ergänzt. Aber: Bei meiner blauen Zeile bist du eigentlich fertig.

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So. Die Grafik wird bei mir angezeigt.

Es geht in deiner Frage um die " hebbare Definitionslücke "
Das müssten wir dann einmal klären.

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Deine Interpretation, dass eine der Definitionslücken stetig hebbar ist, und du so zu einer "stetigen Erweiterung" kommst, ist wahrscheinlich schon ok.

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Was ist denn genau eine hebbare Definitionslücke?

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Die Antwort kommt dann gleich.

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Obwohl Zähler und Nenner für mich nicht so ausgesehen haben
als ob es etwas zu kürzen gäbe ergibt eine Polynomdivision doch
ein Ergebnis.

Im 3.Schritt lasse ich lim x −> 2 laufen. Noch darf gekürzt werden
da der Wert noch nicht x = 2 ist ( Division durch 0 ).



Der links- und rechtsseitige Grenzwert wäre  11 / 3
Also gleich.
Nach meinem Kenntnisstand gilt : ist der links- und rechtsseitige Grenzwert
gleich gilt x = 2 als " hebbare Lücke ".

Auf dieser Seite wurden unten noch weitere Fragen dazu beantwortet.
Ansonsten kann auch im Internet einmal nachgeschaut werden.

mfg Georg