Stetige Fortsetzung bei gebrochenrationaler Funktion nachweisen

Question

f(x)= ((x-3)*(x+2)) / (2x²-6x+6)

Die stetige Fortsetzung ist (x+2)/(2x-2). Dies war so vorgegeben. Ich komme auch auf diese Lösung, jedoch steht in der Aufgabenstellung, dass ich die stetige Fortsetzung nachweisen soll. Ich habe einfach Nenner und Zähler faktorisiert und dann gekürzt. Dies wird aber sicherlich nicht als Nachweis anerkannt.

Das soll bitte kein mathematischer Beweis werden, dies ist nur eine Abiaufgabe.

Danke !

LG

Answer 1

Hi Simon,

müsste im Zähler nicht -8x stehen? Ansonsten stimmt deine Faktorisierung nicht. Falls ja, dann:

Man kann gewisse (sogar ziemlich viele) Sachen auch rechnerisch nachweisen (sprich durch Term- und Gleichungsumformungen). Für mich wäre dieser Weg vollkommen in Ordnung als Nachweis dafür, dass die Funktion stetig ergänzbar wäre in x=3. Insbesondere deswegen, weil man sog. hebbare Definitionslücken in der Schule häufig auf diese Weise definiert, nämlich als simultane Nullstelle des Zähler und Nenners.

Gruß

Comments

Sorry, das sollte in der Tat -8x heißen.

Könntest du mir vielleicht mal eine etwas mathematischere Schreibweise als Nachweis darstellen? Meinem Lehrer reicht diese Darstellung durch Kürzen nicht aus, da bin mich mir sicher ;) Morgen schreiben wir da nämlich einen Test drunter.

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Meinst du sowas:

$$ \lim \limits_{x \to 3} f(x) = \lim \limits_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(2x-2)} =\lim \limits_{x \to 3}\frac{x+2}{2x-2} = \frac{5}{4}$$

und jetzt rate mal was der Kern dieser stetigen Ergänzung war? Natürlich das Kürzen, deswegen ist deine Vorgehensweise vollkommen legitim und dein Lehrer seltsam falls er diese nicht akzeptiert.

Answer 2

f(x)= ((x-3)*(x+2)) / (2x²-6x+6) ist auf ganz ℝ stetig. Die stetige Fortsetzung von f(x) ist deshalb f(x).

Der Zähler ist bereits faktorisiert. Der Nenner lässt sich nicht ohne komplexe Zahlen faktorisieren.