Fortsetzung zu einer auf dem Intervall [0,unendlich) definierten stetigen Funktion

Question

Grüß Gott!

Ich weiß nicht so recht wie ich bei dieser Aufgabe begründen soll:

"Betrachten Sie die auf dem offenen Intervall (0,∞) definierte Funktion f mit f(x)=x^x. Existiert eine Fortsetzung zu einer auf dem Intervall [0,∞) definierten stetigen Funktion? Begründen Sie sorgfältig!"

Wäre grandios wenn mir wer helfen könnte.

Danke und schöne Grüße!

Answer 1

Hi,

es ist wohl nicht mehr gefragt als der Grenzwert an der Stelle 0.


$$\lim_{x\to0} x^x = \lim e^{x\ln(x)} = \lim e^{\frac{\ln(x)}{\frac1x}} = l'H. $$

$$= \lim e^{\frac{\frac1x}{\frac{-1}{x^2}}} = \lim e^{-x} = e^0 = 1$$


Es exisitiert also eine stetige Fortsetzung an der Stelle 0.


Grüße