Auf stetige Fortsetzung untersuchen Bsp. f(x) = (x^2 - x -2) / (x - 2)

Question

1. (x² - x -2) / (x - 2)

2. (x² - x - 6)/ (x² -5x +6)

Wie untersuche ich die 2 folgenden Funktionen auf ihre stetige Fortsetzung ?

Man muss doch gucken welche Nennernullstelle auch Zählernullstelle ist , das wäre ja in Bsp .1 = 2 =hebbare Def. Lücke

Wie muss man dann weiter vorgehen ?

Comments

Zum Beispiel so: \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2-x-2}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+1)=3\).

Answer 1

am besten 2 Beispiele "auf Basis Nr. 2"

1)

f(x) = \(\frac { x^2 - x - 6 }{ x^2 -5x + 6 }\)  = \(\frac { (x+2)·(x-3) }{ (x-2)·(x-3) }\)  =_x≠3  \(\frac { x+2 }{ x-2 }\)

x = 3 ist eine stetig behebbare Lücke, weil der zugehörige Linearfaktor im Nenner sich vollständig wegkürzen lässt.

Der Graph von f stimmt für x=3 mit dem der in ℝ\{2} stetigen Funktion f_e(x) = \(\frac { x+2 }{ x-2 }\) überein. Er hat bei x=3 lediglich ein Loch.

f_e : ℝ\{2} → ℝ  ist die stetige Fortsetzung  von f  

2)

f(x) = .\(\frac { (x+2)·(x-3) }{ (x-2)·(x-3)^2 }\)  hat ebenfalls im Zähler und Nenner die Nullstelle x=3. Der Linearfaktor x-3 lässt sich aber im Nenner nicht vollständig wegkürzen. Deshalb ist x=3  hier keine stetig behebbare Lücke sondern eine Polstelle (Unendlichkeitsstelle).

 > Man muss doch gucken welche Nennernullstelle auch Zählernullstelle ist

geht also "in die richtige Richtung", trifft es aber nicht genau :-)

Gruß Wolfgang

Comments

danke , ich habe alles verstanden

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dann ist bei der ersten Funktion , die 2 keine polstelle , sondern eine behebbare Lücke ? Weil ich davon ausgehene würde , wenn ich mir die Funktion ansehe , dass die 2 nicht im Def Bereich ist , da man ja nicht durch 0 teilen kann .

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x-2 lässt sich auch nicht "im Nenner vollständig wegkürzen". x=2 ist also eine Polstelle und diese sind nicht in D.