Zeige, dass die Funktion nicht stetig ist

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die Funktion nicht stetig ist:

f(x)= ∑^∞_k=0 x² /((1+x²)^k)

ich habe schon ewig versucht das zu lösen, nur bekomme ich es mit dem k nicht hin.

es ist f:ℝ—>ℝ

Answer 1

Hier ein Tipp:

Es ist \(f(0)=0\) und für \(x\neq 0\) ist

\(|\frac{1}{1+x^2}|< 1\), so dass die geometrische Reihe

\(\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{1+x^2})^k\) konvergiert.

Comments

Vielen Dank dir!

Also ang. g ist stetig. Dann gilt:

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈ℝ: |x-x₀|<δ: |g(x)-g(x₀)|>ε

Wähle ich nun x₀ =0

|g(x)-g(x0)|= |x²/((1+x²)^k)  - 0| = 1/ (1+x²)^k <1

Jedoch muss es ja für alle ε gelten. Wenn bspw ε=0,5 dann stimmt die Gleichung nicht mehr.

Ist das so ungefähr richtig?

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Das ist nicht richtig; denn dein \(g\)

ist als gebrochen rationale Funktion außer an den

Nullstellen des Nenners überall stetig. Da der Nenner

keine reellen Nullstellen besitzt, ist dein \(g\) also

überall stetig. Es geht ja aber um die Stetigkeit von \(f\) !

Was ist denn \(f(x)\) für \(x\neq 0\).

Das kannst du doch mithilfe des Grenzwertes der

geometrischen Reihe explizit angeben.

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Wie finde ich denn herraus, an welchem Punkt mein f nicht stetig ist?
Ich komme mit dem Tipp nicht weiter...

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Berechne doch \(f(x)\) für jedes \(x\),

dann hast du eine ganz normale abschnittsweise

definierte reelle Funktion ...