Es geht ja um den Ind.schritt:
\( \sum \limits_{k=1}^{n+1}\frac{k^2}{(2k-1)(2k+1)}\)
\(= \sum \limits_{k=1}^{n}\frac{k^2}{(2k-1)(2k+1)} + \frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+3)}\)
\(= \frac{n(n+1)}{2(2n+1)} + \frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+3)}\)
Ausklammern
\(= \frac{n+1}{2n+1} (\frac{n}{2} + \frac{n+1}{2n+3})\)
\(= \frac{n+1}{2n+1} \cdot \frac{n(2n+3)+2(n+1)}{2(2n+3)} \)
\(= \frac{n+1}{2n+1} \cdot \frac{ 2n^2 +5n + 2 }{2(2n+3)} \)
Und 2n^2 +5n + 2 kannst du mit 2n+1 kürzen,
da bleibt nur oben n+2 und du hast es.