Beweisprinzip der vollständigen Induktion

Question

Aufgabe:

∑ von k=1 bis n: k^2/(2k-1)(2+1)=n(n+1)/2(2n+1)…

Problem/Ansatz:

Diese Aussage mithilfe der vollständigen Induktion lösen, den Induktionsanfang habe ich schon, ich verbeiße mich aber am Beweis!

Vielleicht kann mir ja jemand helfen

Answer 1

Es geht ja um den Ind.schritt:

\( \sum \limits_{k=1}^{n+1}\frac{k^2}{(2k-1)(2k+1)}\)

\(= \sum \limits_{k=1}^{n}\frac{k^2}{(2k-1)(2k+1)} + \frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+3)}\)

\(= \frac{n(n+1)}{2(2n+1)} + \frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+3)}\)

Ausklammern

\(=    \frac{n+1}{2n+1} (\frac{n}{2} + \frac{n+1}{2n+3})\)

\(=    \frac{n+1}{2n+1} \cdot  \frac{n(2n+3)+2(n+1)}{2(2n+3)} \)

\(=    \frac{n+1}{2n+1} \cdot \frac{ 2n^2 +5n  + 2 }{2(2n+3)} \)

Und 2n^2 +5n + 2 kannst du mit 2n+1 kürzen,

da bleibt nur oben n+2 und du hast es.

Comments

Vielen dank, wie hast du das am Ende gekürzt?

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(n+2)(2n+1)=2n^2+5n+2

Answer 2

Hallo,

der Induktionsschritt ist ein wenig Rechnerei:$$\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k^2}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)} \\ \begin{aligned} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{k^2}{(2k-1)(2k+1)} &= \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k^2}{(2k-1)(2k+1)} + \frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+3)}\\ &= \frac{n(n+1)}{2(2n+1)}  + \frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+3)}\\ &= \frac{n(n+1)(2n+3) + 2(n+1)^2}{2(2n+1)(2n+3)}\\ &= \frac{(n+1)(n(2n+3) + 2(n+1))}{2(2n+1)(2n+3)}\\ &= \frac{(n+1)(2n^2+3n + 2n+2)}{2(2n+1)(2n+3)}\\ &= \frac{(n+1)(2n^2+5n+2)}{2(2n+1)(2n+3)}\\ &= \frac{(n+1)(n+2)(2n+1)}{2(2n+1)(2n+3)}\\ &= \frac{(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}\\ &= \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2(2(n+1)+1)}\\ &\text{q.e.d.} \end{aligned}$$Der Trick ist immer, es nicht zu früh aus zu multiplizieren.

Gruß Werner

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Super

Vielen Dank