Beweis mit der vollständigen Induktion

Question

Aufgabe:

Beweis mit der vollständigen Induktion

1·2·3 + 2·3·4 + 3·4·5 + ... + n·(n + 1)·(n + 2) = n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3)/4

Problem/Ansatz: Diese Aussage gilt es mit der vollständigen Induktion zu beweisen. Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung habe ich hinbekommen. Den Induktionsschritte bekomme ich leider nicht hin. Ich wäre sehr dankbar darüber, wenn jemand den Induktionsschritt durchführen könnte.

Answer 1

IA:

∑ (x = 1 bis 1) (x·(x + 1)·(x + 2)) = 1·(1 + 1)·(1 + 2)·(1 + 3)/4
1·(1 + 1)·(1 + 2) = 1·(1 + 1)·(1 + 2)·(1 + 3)

das ist offensichtlich richtig

IS:

∑ (x = 1 bis n + 1) (x·(x + 1)·(x + 2)) = (n + 1)·(n + 2)·(n + 3)·(n + 4)/4
∑ (x = 1 bis n) (x·(x + 1)·(x + 2)) + (n + 1)·(n + 2)·(n + 3) = (n + 1)·(n + 2)·(n + 3)·(n + 4)/4
n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3)/4 + (n + 1)·(n + 2)·(n + 3) = (n + 1)·(n + 2)·(n + 3)·(n + 4)/4
(n + 1)·(n + 2)·(n + 3)·(n/4 + 1) = (n + 1)·(n + 2)·(n + 3)·(n + 4)/4
(n + 1)·(n + 2)·(n + 3)·(n + 4)/4 = (n + 1)·(n + 2)·(n + 3)·(n + 4)/4

wzbw.

Comments

Diese unerklärte Hintereinanderreihung von Formeln halte ich nicht für eine Antwort.

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Danke für die Antwort. Ich kann leider nicht nachvollziehen, wie du in der 3. Reihe beim Induktionsschritt darauf kommst : n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3)/4 + (n + 1)·(n + 2)·(n + 3). Bis zum (n + 3)/4 verstehe ich es. Danach leider nicht mehr. Vielleicht könnte das jemand erklären.

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Ich teile die Summe bis n + 1 auf in die Summe bis n und dann den Summand fpür n + 1

∑ (x = 1 bis n + 1) (x·(x + 1)·(x + 2)) 

= ∑ (x = 1 bis n) (x·(x + 1)·(x + 2)) + (n + 1)·(n + 2)·(n + 3)

Jetzt kann ich für die Summe bis n einfach die Induktionsannahme nehmen.

= n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3)/4 + (n + 1)·(n + 2)·(n + 3)

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Okay, verstanden. Woher kommt aber die (n + 1)·(n + 2)·(n + 3)? Weil n·(n + 1)·(n + 2) habe ich um n+1 ergänzt. Warum steht dahinter dann noch (n + 1)·(n + 2)·(n + 3). In der Aussage steht (n + 1)·(n + 2)·(n + 3) ja eigentlich auf der rechten Seite.

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Wie lautet denn der (n+1). Summand?

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Du musst schon in

x·(x + 1)·(x + 2)

für x = n + 1 einsetzen. Schaffst du das?

= (n + 1)·((n + 1) + 1)·((n + 1) + 2)

= (n + 1)·(n + 2)·(n + 3)