Stetigkeit bezüglich jeder Norm

Question

Aufgabe:

Sei
\( f: \mathbb{K}^{n \times n} \times \mathbb{K}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{K}^{n \times n}, \quad(A, B) \mapsto f(A, B):=A \cdot B . \)

Zeigen Sie, dass \( f \) stetig ist bezüglich jeder Norm auf \( \mathbb{K}^{n \times n} \).

Problem/Ansatz:

Mir ist nicht ganz klar, wie man diese Aufgabe lösen soll. Soll man einfach für f die verschiedenen Eigenschaften einer linearen Abbildung nachweisen und dann mit der Linearität argumentieren? Oder ist das komplett falsch?

Ich würde mich sehr über einen Tipp freuen. LG :-)

Comments

F ist keine lineare Abbildung.

Kennst Du einen Zusammenhang zwischen beliebigen Normen auf endlich dim Räumen?

Sind in der Aufgabe evtl nur "submultiplikative Matrizennormen" gemeint?

Kannst Du formulieren, was Stetigkeit hier bedeutet? ( Folgen oder epsilon-delta)?

Zu spät, schon beantwortet.

Answer 1

Es geht nicht um Linearität, sondern um Stetigkeit.

Die Funktion \(f\) ist stetig, wenn für alle konvergenten Folgen \((A_k)\rightarrow A\) und \((B_k)\rightarrow B\) auch \(f(A_k,B_k)\rightarrow f(A,B)\) gilt. Hier ist also \(A_kB_k\rightarrow AB\) zu zeigen bzw. \(||A_kB_k-AB||=0,\ k\rightarrow \infty\) für jede beliebige Norm. Nutze also die Konvergenz der Folgen \((A_k)\) und \((B_k)\) sowie die Eigenschaften einer Matrixnorm (Submultiplikativität, Dreiecksungleich, ...), um die Norm entsprechend abzuschätzen und damit die Konvergenz zu zeigen.