Abbildung d: C1([a,b]) -> C0([a,b]) bezüglich der Unendlich-Norm stetig?

Question

Aufgabe:

Es sei $[a, b]$ ein kompaktes Intervall. Wir definieren die Menge

$C^{1}([a, b]):=\{f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \mid f \text { ist stetig differenzierbar }\}$

und die Abbildung:

$\begin{aligned} d: C^{1}([a, b]) & \rightarrow C^{0}([a, b]) \\ d(f) &:=f^{\prime} \end{aligned}$

Untersuchen Sie, ob $d$ stetig ist, wenn wir $C^{0}([a, b])$ und $C^{1}([a, b])$ mit der $\infty-$ Norm versehen.

Ansatz/Problem:

Ich vermute, dass d nicht stetig ist, da im Bildbereich auch Funktionen liegen, die keine Ableitung darstellen, es also "Lücken" gibt. Allerdings würde ich mich dann nicht auf die Unendlich-Norm berufen und mathematisch ist die Begründung auch nicht.

Comments

Es würde dir helfen mal korrekt mathematisch zu formulieren was die Stetigkeit für den Differentialoperator $d$ bedeuten würde, sprich die Definition anzuwenden. Dann wirst du sehen was eventuell gezeigt werden müsste oder ob sich ein Gegenbeispiel finden lässt.