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Aufgabe:

Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion.

Für alle n∈N gilt:

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{2}{3^k}} \) = 1-(\( \frac{1}{3} \))^n 


Problem/Ansatz:

Bei vollständiger Induktion bin ich echt schlecht. Ich weiß, dass man zuerst das Paket oben, beweisen soll und für n=1 einsetzt. Normalerweise setzt man anschließend doch n=m+1 oder? Falls ja wie rechne ich weiter?

Vielen Dank für die Antworten.

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Beste Antwort

Aus der Voraussetzung \( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{2}{3^k}} \) = 1-(\( \frac{1}{3} \))n muss die Behauptung

\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{\frac{2}{3^k}} \) = 1-(\( \frac{1}{3} \))n+1 geschlossen werden. Das geschieht durch Addition des nächsten Summanden (\( \frac{2}{3} \))n+1 auf beiden Seiten der Voraussetzung:

\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{\frac{2}{3^k}} \) = 1-(\( \frac{1}{3} \))n+(\( \frac{2}{3} \))n+1 . Nach etwas Umformung bestätigt sich die Behauptung.

Avatar von 123 k 🚀
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\(\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{2}{3^{k}} & =\frac{2}{3^{n+1}}+\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{3^{k}}\\ & =\frac{2}{3^{n+1}}+1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\\ & =\dots\\ & =1-\frac{1}{3^{n+1}} \end{aligned}\)

Ergänze die fehlenden Umformungen.

Avatar von 106 k 🚀

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