Beweis mit der vollständigen Induktion. (Mit Potenz)

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion.

Für alle n∈N gilt:

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{2}{3^k}} \) = 1-(\( \frac{1}{3} \))^n 

Problem/Ansatz:

Bei vollständiger Induktion bin ich echt schlecht. Ich weiß, dass man zuerst das Paket oben, beweisen soll und für n=1 einsetzt. Normalerweise setzt man anschließend doch n=m+1 oder? Falls ja wie rechne ich weiter?

Vielen Dank für die Antworten.

Answer 1

Aus der Voraussetzung \( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{2}{3^k}} \) = 1-(\( \frac{1}{3} \))ⁿ muss die Behauptung

\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{\frac{2}{3^k}} \) = 1-(\( \frac{1}{3} \))ⁿ⁺¹ geschlossen werden. Das geschieht durch Addition des nächsten Summanden (\( \frac{2}{3} \))ⁿ⁺¹ auf beiden Seiten der Voraussetzung:

\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{\frac{2}{3^k}} \) = 1-(\( \frac{1}{3} \))ⁿ+(\( \frac{2}{3} \))ⁿ⁺¹ . Nach etwas Umformung bestätigt sich die Behauptung.

Answer 2

\(\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{2}{3^{k}} & =\frac{2}{3^{n+1}}+\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{3^{k}}\\ & =\frac{2}{3^{n+1}}+1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\\ & =\dots\\ & =1-\frac{1}{3^{n+1}} \end{aligned}\)

Ergänze die fehlenden Umformungen.