Umformung bei einer vollständigen Induktion

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie folgende Formel für alle n ∈ N durch vollständige Induktion.

n
∑ i·(2i+1) = (n·(n+1)·(2n+7))/6
i=1

Problem/Ansatz:

Ich scheitere aktuell leider an der finalen Umformung. Für den Beweis müsste ich zu 14k +2k²+18/6 Umformen (Ergebnis IS).
Ausgang dafür ist (k·(k+1)·(2k+7)/6)+(k+1), als ein Bruch -> ((k·(k+1)·(2k+7)/)+6(k+1))/6

Vielleicht habe ich mich hier auch komplett festgebissen, bin für jede Hilfe sehr dankbar! :)

Comments

n
∑ i*(2i+1) = (n*(n+1)*(2n+7))/6
i=1

Für \(n=2\) stimmt das schon nicht!$$\sum\limits_{i=1}^{n} i(2i+1) = \frac{n}{6}(n+1)(4n+5)$$

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i*(2i+1) = 2i^2+i

Du kannst Teilsummen bilden und dann zusammenfassen.

∑i^2 und ∑i sind bekannte Summen.

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.... oder soll es $$\sum\limits_{i=1}^{n} i(i+2) = \frac{n}{6}(n+1)(2n+7)$$heißen?

Answer 1

Für den IS musst du (n*(n+1)*(2n+7))/6+(n+1)(2n+3)=((n+1)*(n+2)*(2(n+1)+7))/6 nachweisen.

Vermutlich kann man diesen Nachweis nicht führen. Dann ist irgendwo der Wurm drin (bei mit oder bei dir).

Auf jeden Fall muss man zum rechten Term einmal das nächste Glied der Summe addieren und einmal im rechten Term n durch n+1 ersetzen. Dann muss in beiden Fällen nach Umformung der gleiche Term entstehen.

Comments

Bedeutet die IV + (n+1) = IS (nach umformen)?

Meine Rechnung für den Induktionsschritt ist also falsch?

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Dein IS ist ganz sicher nicht richtig. Ich habe meine Antwort noch ergänzt. Schreib mal auf, was du nach Befolgen meines letzten Satzes hast.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Deine Gleichung kann man nicht beweisen, weil sie falsch ist.

Wenn die Summanden richtig sind, gilt:$$\small\sum\limits_{i=1}^ni\,(2i+1)=3\binom{n-1}{0}+10\binom{n-1}{1}+11\binom{n-1}{2}+4\binom{n-1}{3}=\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$$

Wenn der Summenterm richtig ist, gilt:$$\small\sum\limits_{i=1}^ni\,(i+2)=3\binom{n-1}{0}+8\binom{n-1}{1}+7\binom{n-1}{2}+2\binom{n-1}{3}=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$$