Beweisprinzip der vollständigen Induktion mit Summennotationen

Question

Für n ∈ ℕ ist die n-te harmonische Zahl H_{n} definiert durch:

$$ H_{n}:=\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j} $$

Man zeige mit Hilfe des Beweisprinzips der vollständigen Induktion die Gültigkeit der folgenden Aussage:

$$\forall n \in \mathbb{N}: \sum_{k=1}^{n} H_{k}=(n+1) \cdot H_{n}-n$$

Wie kann man da vorgehen? Müsste ich da zuerst das Hk definieren?

Answer 1

Der Einfachheit halber würde ich die harmonische Reihe als H_k=1/k darstellen (müsste so stimmen).

Dann fangen wir an mit dem Induktionsbeweis:

1. Induktionsanfang (wir beweisen, dass die Gleichung für das erste Element gültig ist):

$$\sum _ { k = 1 } ^ { l } \frac { 1 } { k } = ( l + 1 ) \cdot \frac { 1 } { l } - 1 \\ 1 = 1$$

2. Induktionsannahme

Sei \( n \geq 1 \) und \( \sum \limits _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { k } = ( n + 1 ) \cdot \frac { 1 } { n } - n \)

3. Induktionsschluss (wir zeigen, dass für ein Folgeelement die erwartete Formel stimmt)

\( \sum \limits _ { k = 1 } ^ { n + 1 } \frac { 1 } { k } = \sum _ { k = 1 } ^ { 1 } \frac { 1 } { k } + \frac { 1 } { ( n + 1 ) } = ( n + 1 ) \cdot \frac { 1 } { n } - n + \frac { 1 } { ( n + 1 ) } = \ldots . = ( ( n + 1 ) + 1 ) \cdot \frac { 1 } { n + 1 } - ( n + 1 ) \)

Das nachzuvollziehen war für mich Anfangs auch recht schwer. Einmal begriffen, ist das aber ein recht einfaches Schema: Wie eine Dominokette. Das erste Element muss fallen und das zieht dann immer das Nachfolgende mit sich.

Behalte mir mögliche Fehler vor ;-)

Wichtig: Es wird ein Ergebnis formuliert:

Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt die Behauptung.

Comments

Das ist formal ein schöner Induktionsbeweis.

Leider ist inhaltlich alles falsch .

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Hallo danke für die Antwort :-)

Leider hat der erster Kommentator recht. Setzt du zum Beispiel 2 ein, stimmt die Gleichung gar nicht mehr. Ich selbst bin auch nicht mehr draufgekommen. Trotzdem vielen Dank für die Mühe .-)