Ich muss beweisen, dass Folgendes gilt:
$$\sum _ { i = 1 } ^ { n } i ^ { 4 } \frac { n · ( n + 1 ) · ( 2 n + 1 ) · ( 3 n ^ { 2 } + 3 n - 1 ) } { 30 }$$
Habe bisher bei der vollständigen Induktion folgendes berechnet:
1. Induktionsanfang:
Beweis für n=1:
Komme da auch auf 1. Das bedeutet, dass es sich um eine wahre Aussage handelt.
2. Induktionsschritt:
Induktionsannahme: Gilt für alle m. Man ersetzt also n durch m, daraus folgt:
$$\sum _ { i = 1 } ^ { m } i ^ { 4 } \frac { m · ( m + 1 ) · ( 2 m + 1 ) · ( 3 m ^ { 2 } + 3 m - 1 ) } { 30 }$$ (Bild 2)
Nun schließt man von m auf m+1 (Wieso eigentlich?):
$$\sum _ { i = 1 } ^ { m + 1 } i ^ { 4 } \frac { m + 1 · ( m + 1 + 1 ) · ( 2 · ( m + 1 ) + 1 ) + ( 3 · ( m + 1 ) ^ { 2 } + 3 · ( m + 1 ) - 1 ) } { 30 }$$
Anstelle des Summenzeichens wird der der Term des Bildes (2) eingefügt. Außerdem wird anstelle von i^4 nun (m+1)^4 geschrieben und die Terme werden gleichgesetzt. Daraus folgt wiederum:
$$ \frac{m·(m+1) · (2 m+1)·\left(3 m^{2}+3 m-1\right)}{30}+(m+1)^{4}= \frac{m+1 ·(m+1+1) ·(2 ·(m+1)+1) ·\left(3 ·(m+1)^{2}+3 (m+1)-1\right)}{30} $$
Mein Ergebnis ist auf der rechten Seite:
6m^5+45m^4+130m^3+180m^2+119m+30/30
Allerdings habe ich das Problem, dass ich auf der linken Seite nach dem Ausmultiplizieren nicht auf das selbe Ergebnis komme.
Meine Frage:
Habe ich die linke Seite falsch aufgestellt ?
Und wenn ja. Kann mir jemand sagen wie ich die linke Seite dann aufstellen muss?
