Wie beweise ich eine unendliche Reihe mit hilfe der vollständigen Induktion?

Question

Aufgabe: Beweise diese Aussage mit der Vollständigen Induktion

∑^∞_n=1 n= n(n+1)/2

Problem/Ansatz:

Mein Matheprof hat uns diese Aufgabe gestellt. Das Problem hierbei ist das wir noch nicht mit einer unendlichen Reihe gearbeitet haben.

Answer 1

Deine Frage ist ja schon verkehrt

Richtig inkl. Antwort wäre

Zu zeigen

Σ (k = 1 bis n) (k) = 1/2·n·(n + 1)

Induktionsanfang n = 1

Σ (k = 1 bis 1) (k) = 1/2·1·(1 + 1)
1 = 1 → wahr

Induktionsschritt n → n + 1

Σ (k = 1 bis n + 1) (k) = 1/2·(n + 1)·((n + 1) + 1)
Σ (k = 1 bis n) (k) + (n + 1) = 1/2·(n + 1)·(n + 2)
1/2·n·(n + 1) + (n + 1) = 1/2·(n + 1)·(n + 2)
(n + 1)·(1/2·n + 1) = (n + 1)·(1/2·n + 1) → wahr

Comments

Woher kommt das k und wieso ist in diesen ganzen Schritten kein ∞

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Wenn du die Summe aller natürlichen Zahlen nimmst, dann ist das eine unendlich große Zahl und bestimmt nicht 1/2·n·(n + 1).

Der Term 1/2·n·(n + 1) ist die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis n.

Also

1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + n = 1/2·n·(n + 1)

Beispiel

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 1/2·5·(5 + 1)

15 = 1/2·5·6

15 = 15

Du siehst am Beispiel für n = 5, dass es stimmt und wie es gemeint ist.

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Das habe ich mir auch gedacht und habe aufgrund dessen bei meinem Prof nachgefragt und dieser hat mir die Aufgabe so geschickt wie sie in der Frage steht. Auch hat er nichts davon erwähnt das n ∈ ℕ ist.

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Auch einem guten Prof. unterlaufen durchaus mal Flüchtigkeitsfehler.

Das Summenzeichen auf der linken Seite summiert alle natürlichen Zahlen. Jeder Onlinerechner ermittelt dort als Wert unendlich.

Rechts kommt allerdings für jedes n Element der reellen Zahlen ein fester Wert heraus und nicht unendlich.

Das kann sicher nicht die korrekte Aufgabenstellung sein.