Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Zuerst schreibe immer die Behauptung hin:$$\text{Behauptung:}\quad\sum\limits_{k=1}^nk^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\quad\text{für }n\in\mathbb N$$
Dann folgt die Induktionsverankerung beim kleinst-möglichen \(n\in\mathbb N\).$$\text{Verankerung bei } n=1\colon$$$$\sum\limits_{k=1}^nk^3=\sum\limits_{k=1}^1k^3=1^3=1=\left(\frac{1\cdot2}{2}\right)^2=\left(\frac{n\cdot(n+1)}{2}\right)^2\quad\checkmark$$
Bei der Verankerung weißt du, wie du den Term, in diesem Fall die \(1\), in einer anderen Form aufschreiben willst. Mit derselben Idee gehst du nun an den Induktionsschritt.
$$\text{Induktionsschritt von }n\text{ auf }(n+1):$$$$\sum\limits_{k=1}^{n\pink{+1}}k^3=\sum\limits_{k=1}^nk^3+\pink{(n+1)^3}\stackrel{\;\text{Ind.Vor.}\;}{=}\left(\frac{n\cdot(n+1)}{2}\right)^2+\pink{(n+1)^3}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n\pink{+1}}k^3}=\frac{n^2\cdot\mathbf{(n+1)^2}}{4}+\pink{(n+1)\mathbf{(n+1)^2}}=\left(\frac{n^2}{4}+(n+1)\right)\cdot\mathbf{(n+1)^2}$$Erkennst du die Idee? Wir haben gesehen, dass der Faktor \((n+1)^2\) in beiden Summanden vorkommt. Daher haben wir beide Summanden umgeformt, um \((n+1)^2\) ausklammern zu können.$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n\pink{+1}}k^3}=\left(\frac{n^2}{4}+\frac{4n+4}{4}\right)\cdot(n+1)^2=\left(\frac{n^2+4n+4}{4}\right)\cdot(n+1)^2$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n\pink{+1}}k^3}=\frac{(n+2)^2}{4}\cdot(n+1)^2=\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2\quad\checkmark$$
Versuche bei Induktionen so früh wir möglich gemeinsame Faktoren auszuklammern. Vermeide das Ausmultiplizieren von Klammern. Schau dir zum Ausklammern die Terme genau an und suche gleiche Faktoren, die ausgeklammert werden können.
