Berechne B{^n} mit Hilfe der vollständigen Transformation: B^{n}= X * D^{n} * ( X^{-1}

Question

Aufgabe:

Es sei Matrix B\( \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -5 & -5 \end{pmatrix} \)

Berechne \( B^{n} \)  mit Hilfe der vollständigen Transformation: \( B^{n} \) = X * \( D^{n} \) * \( X^{-1} \)

Problem/Ansatz

Komplette Lösung ist vorhanden, ich verstehe aber ein paar Teilschritte nicht, bzw wieso man diese macht.

Zuerst wurden von B die beiden Eigenwerte a=-2-i *\( \sqrt{11} \)  und b=-2+i *\( \sqrt{11} \) und die beiden Eigenvekoren b1=\( \begin{pmatrix} 4\\-3-i\sqrt{11} \end{pmatrix} \)  und b2=\( \begin{pmatrix} 4\\-3+i\sqrt{11} \end{pmatrix} \) erechnet. Wieso?

Dann wurde festgestellt dass diese nicht gleich sind weshalb geschrieben wurde: \( x^{-1} \) * B * X = D = \( \begin{pmatrix} a=-2-i\sqrt{11} & 0 \\ 0 & b=-2+i\sqrt{11}\end{pmatrix} \) Hier steig ich komplett aus. Was ist denn D?

Dann eine Umformung die für mich auch keinen Sinn ergibt: B= X * D * \( X^{-1} \)  Wieso kann man das so umstellen?

B wurde dann mit 2, 3, 4 etc multipliziert bis man auf \( B^{n} \)=X * \( D^{n} \) * \( X^{-1} \) kam.

Dann noch schön die jeweiligen Werte für die 3 Faktoren eingesetzt und berechnet. Versteh ich. Aber dann wird an die 3 Faktoren noch *\( \frac{1}{i8\sqrt{11}} \) gehängt.

\( B^{n} \) = \( \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ -3-i\sqrt{11} & -3+i\sqrt{11} \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} (-2-i\sqrt{11)}^{n} & 0 \\ 0 & (-2+i\sqrt{11)}^{n} \end{pmatrix} \)* \( \begin{pmatrix} -3+i\sqrt{11} & -4 \\ -3+i\sqrt{11} & 4 \end{pmatrix} \) * \( \frac{1}{i8\sqrt{11}} \)

Und hier sitz ich seit 2h und probiere rauszufinden woher dieser letzte Faktor kommt, wenn er nicht in der Formel steht. Aus irgendeinem, mir nicht ersichtlichem Grund, dachte sich mein Prof, "cool, da setz ich noch einen Faktor hin, ist ja ganz schön"

Endergebnis ist dann X^{-1}=\( \frac{\sqrt{11}}{88} \) * \( \begin{pmatrix} \sqrt{11}+3i & 4i \\ \sqrt{11}-3i & -4i \end{pmatrix} \)

Wieso man dann x ausrechnet, und woher der vorfaktor kommt ist auch eine schöne Frage....

Bin echt absolut am verzweifeln hier, sonst würde ich nicht eine Stunde damit verschwenden hier alles schön einzutippen. Danke für jede Hilfe

Answer 1

Du möchtest ja
\( \mathbf{B}=\mathbf{X D X}^{-1} . \)
berechnen, wobei \( \mathbf{D} \) eine Diagonalmatrix ist, denn wenn du eine solche Zerlegung hast, so kannst du \( \mathbf{B}^{n} \) ganz einfach berechnen, da
\( \mathbf{B}^{n}=\left(\mathbf{X D X}^{-1}\right)\left(\mathbf{X D} \mathbf{X}^{-1}\right) \ldots\left(\mathbf{X D} \mathbf{X}^{-1}\right)=\mathbf{X D}\left(\mathbf{X}^{-1} \mathbf{X}\right) \mathbf{D} \ldots \mathbf{D} \mathbf{X}^{-1}=\mathbf{X D}^{n} \mathbf{X}^{-1} \)
und \( \mathbf{D}^{n} \) kannst du einfach berechnen, da es ja eine Diagonalmatrix ist, du also lediglich die Diagonalelemente exponenzieren musst. Eine solche Zerlegung von \(\mathbf{B}\) kannst du mithilfe der Eigenwerte von \(\mathbf{B}\) finden, sie wird auch Diagonalisierung bzw. Spektralzerlegung genannt. Es stellt sich nun heraus, dass eine Matrix genau dann diagonalisiebar ist, wenn die geometrische Vielfachheit der algebraischen Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleicht. Wenn dies der Fall ist, so gibt es eine Eigenbasis bestehend aus den Eigenvektoren der korrespondierenden Eigenwerte. Die Matrix \( \mathbf{X} \) besteht also aus diesen Eigenvektoren, welche eine Basis für den \( \mathbb{R}^{2} \) in deinem Fall bilden, und stellen somit eine Basiswechsel Matrix dar. Das tolle ist nun, dass wenn wir diese Basistransformation auf unsere Matrix \( \mathbf{B} \) anwenden, wir eine Diagonalmatrix erhalten werden, also
\( \mathbf{X}^{-1} \mathbf{B} \mathbf{X}=\mathbf{D} . \)
Jetzt multiplizierst du die obige Gleichung von rechts mit \( \mathbf{X} \) und danach von links mit \( \mathbf{X}^{-1} \) und erhältst:
\( \mathbf{X X}^{-1} \mathbf{B} \mathbf{X} \mathbf{X}^{-1}=\mathbf{X D} \mathbf{X}^{-1} \Longleftrightarrow \mathbf{B}=\mathbf{X D X}^{-1} \)