Aufgabe:
Gegeben sei eine Zufallsvariable \( X \), deren Erwartungswert und Varianz existieren mit \( \operatorname{Var}[X] \neq \) 0 . Für \( n \in \mathbb{N} \) seien \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) unabhängige Zufallsvariablen, welche alle dieselbe Verteilung wie \( X \) besitzen. In der Vorlesung haben Sie bereits gesehen, dass
\( \bar{X}(n):=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} X_{i} \)
für alle \( n \in \mathbb{N} \) ein erwartungstreuer Schätzer für \( \mathbb{E}[X] \) ist.
Zeigen Sie, dass \( \bar{X}(n) \) effizienter ist als \( \bar{X}(n-1) \) für alle \( n \geq 2 \). Dabei heißt unter zwei erwartungstreuen Schätzern derjenige mit der geringeren Varianz effizienter.
