Aufgabe:
$$ \begin{array}{l}{\text { Gegeben seien der Vektorraum } \mathbb{R}_{ \leq 2}[x], \text { die lineare Abbildung } L : \mathbb{R}_{ \leq 2}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{ \leq 2}[x], \text { sowie }} \\ {\text { die folgenden Bilder von } L :} \\ {L\left(x^{2}-2 x\right)=8 x^{2}-2 x+10, \quad L\left(x^{2}+1\right)=-4 x^{2}-4, \quad L(x-2)=-2 x+2}\end{array} $$
$$ \begin{array}{l}{\text { (a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der linearen Abbil- }} \\ {\text { dung L. }} \\ {\text { Hinweis: Sie können diesen Teil durch scharfes Hinsehen und geschicktem Argumen- }} \\ {\text { tieren lösen! }}\end{array} $$
$$ \begin{array}{c}{\text { (b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix } L_{\mathcal{B}} \text { von } L \text { bzgl. der Basis }} \\ {\mathcal{B}=\left\{b_{1} :=x^{2}-2 x, b_{2} :=x^{2}+1, b_{3} :=x-2\right\}}\end{array} $$
(c) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von L
Problem/Ansatz:
(a)
Hier sieht man recht schnell:
L(x^2+ 1) = -4*(x^2+1) => EW_1 = -4
Aber die anderen zwei kann man doch nicht so einfach sehen, oder wie muss ich genau schauen? Ich würde ja fast schon sagen, dass L(x^2-2x) und L(x-2) den Eigenwert Null haben, allerdings kann ich es nicht Begründen, könnte ihr mir da helfen?
(b)
Hier frage ich mich ob es simpler gehen könnte? Denn ich habe alleine 20 Minuten für die Rechnung benötigt und ich glaube nicht dass es der Sinn der Sache war.
Ich habe hier die Linearkombination von den einzelnen L(...) bezüglich der Basiselemente aufgestellt und konnte dann die Darstellende Matrix ablesen, bzw. die Koordinatenvektoren bilden die Spalten der darstellenden Matrix.
(Die Linearkombination von -4x^2-4 konnte man natürlich auch leicht sehen, die anderen wiederum mussten berechnet werden, denke ich?)
Hier die darstellende Matrix:
$$ \left( \begin{array}{rrr}{0} & {\frac{2}{5}} & {\frac{2}{5}} \\ {-4} & {-\frac{2}{5}} & {\frac{38}{5}} \\ {0} & {-\frac{6}{5}} & {-\frac{6}{5}}\end{array}\right) $$
(c)
Nun Frage ich mich wieder ob es einfacher geht, denn auch hier habe ich fast 15 Minuten benötigt.
Das charakteristische Polynom berechnet sich aus
det(LB-zI_4) also der darstellenden Matrix - der Einheitsmatrix *z..
Es folgt damit:
$$ \left( \begin{array}{rrr}{0-z} & {\frac{2}{5}} & {\frac{2}{5}} \\ {-4} & {-\frac{2}{5}-z} & {\frac{38}{5}} \\ {0} & {-\frac{6}{5}} & {-\frac{6}{5}-z}\end{array}\right) $$
Nun folgt das ewige Ausrechnen und dabei kommt man auf:
$$ p(z)=-\frac{1}{5}(56 z)-\frac{1}{5}\left(8 z^{2}\right)-z^{3} $$
Und dies ist das charakteristische Polynom.
Nun hat die ganz Aufgabe mich fast 40 Minuten gekostet und ich frage mich waren die ganzen Rechnungen nötig? Denn es ist eine von 6 Klausuraufgabe und man hat nur 90 Minuten zeit.
