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Aufgabe:

Determinante und Eigenwerte bestimmen.

\( \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 & 0 & 1 \\ -25 & 0 & 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & -25 & 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & -25 & 0 & 0 & 7 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Mit Laplace kann nach den Schritten:

IV = IV - 7I

V = V - 7II       \( \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 & 0 & 1 \\ -4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

VI = VI - 7III

schnell die Determinante gefunden werden, aber falls noch -λ auf der diagonalen ist macht es die bestimmung der Det deutlich mühsamer.
Ich wollte fragen ob es irgend einen Trick für diese Art von Matrix gäbe. zB.  \( \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \) unterteilen, da A,B,C,D in diagonal Matrizen sind.

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Die Matrix heiße A.

Wenn man die 2-te und 4-te Zeile von \(A\) vertauscht und hernach die

die 2-te und 4-te Spalte von \(A\) vertauscht, dann entspricht dies der Konjugation

von \(A\) mit einer Permutationsmatrix \(P_{2,4}\):

\(A\mapsto B=P_{2,4}\cdot A\cdot P_{2,4}^{-1}\).

\(B\) hat nun die Gestalt

\(\left(\begin{array}{cc}U&0\\0&V\end{array}\right)\) mit Blockmatrizen \(U\)

(2x2) und \(V\) (4x4). Mit geeigneten Vertauschungen von Zeilen

und gleichartigen von Spalten von \(V\) bekommt man so

\(C=PAP^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}U&0&0\\0&U&0\\0&0&U\end{array}\right)\) mit einer

Permutationsmatrix \(P\),

wobei \(U=\left(\begin{array}{cc}-3&1\\-25&7\end{array}\right)\) ist.

Konjugierte (=ähnliche) Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom, also

\(\chi_A=\chi_C=\chi_U^3=(X-2)^6\).

Avatar von 29 k

Wow! sehr elegant! danke

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