Aufgabe:
a) Es sei \( K:=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\} \subset[a, b] \) mit \( a<b \) eine Menge aus paarweise verschiedenen Knoten. Die affin-lineare Transformation
$$ \chi: I=[a, b] \rightarrow I_{0}=[-1,1], \quad x \mapsto \frac{2 x-a-b}{b-a} $$
bildet das Intervall \( I \) auf das Einheitsintervall \( I_{0} \) ab. Es sei \( K_{0}=\chi(K) \) das Bild der Knotenmenge. Zeigen Sie, dass die Lebesgue-Konstante invariant unter dieser Transformation ist, d.h. \( \Lambda_{n}(K, I)=\Lambda_{n}\left(K_{0}, I_{0}\right) \).
b) Sei nun \( K=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\} \) mit \( a \leq x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n} \leq b \) und \( I=[a, b] \).
Geben Sie die affin-lineare Transformation \( \sigma:\left[x_{0}, x_{n}\right] \rightarrow I \) an, so dass für
$$ \tilde{K}=\sigma(K)=\left\{\tilde{x}_{0}, \ldots, \tilde{x}_{n}\right\} $$
dann \( a=\tilde{x}_{0}<\tilde{x}_{1}<\cdots<\tilde{x}_{n}=b \) gilt. Beweisen Sie, \( \operatorname{dass} \Lambda_{n}(\tilde{K}, I) \leq \Lambda_{n}(K, I) \)
vorliegt, d.h. die Einbeziehung der Randknoten verbessert die Lebesgue-Konstante.
könnte mir jemand bitte dabei helfen?
:)
