Aufgabe:
Ein Anfangswertproblem eines Systems aus \( n \) nichtlinearen Differentialgleichungen sei gegeben. Betrachtet wird ein implizites Runge-Kutta-Verfahren (IRK) mit einer regulären vollbesetzten Matrix \( A \in \mathbb{R}^{s \times s} \) gebildet aus den inneren Gewichten. Die inverse Matrix besitzt stets eine Zerlegung \( A^{-1}=T \Lambda T^{-1} \) mit der Jordanschen Normalform \( \Lambda \). Wir nehmen \( s=3 \) Stufen an und reellwertige Normalformen der Gestalt:
a) \( \Lambda=\left(\begin{array}{ccc}\lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 1 \\ 0 & 0 & \lambda_{2}\end{array}\right) \)
b) \( \Lambda=\left(\begin{array}{lll}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right) \).
Transformieren Sie damit das lineare Gleichungssystem aus der vereinfachten NewtonIteration auf eine entsprechende günstige Struktur. Skizzieren Sie jeweils einen Algorithmus zur Lösung des transformierten linearen Gleichungssystems, bei dem möglichst wenige \( L R \)-Zerlegungen von Matrizen der Dimension \( n \) benötigt werden. Die vorherige Transformation der rechten Seite des Gleichungssystems und die nachträgliche Transformation der Lösung pro Iterationsschritt soll nicht diskutiert werden.
Problem/Ansatz:
Hey, Hat jemand eine Idee wie ich das lösen kann?
Ich würde mich auf ihre Antworte freuen :)
