Der Beweis der n-ten Ableitung mithilfe der vollständigen Induktion. Hilfe?

Question

Ich hab durch meinen Tutor eine Facharbeit in Mathe aufgebrummt bekommen. Das Thema ist eigentlich voll o.k. ... aber bei dieser einen Aufgabe komm ich einfach nicht weiter ...

Meine Aufgabe ist es zu beweisen, dass eine Bildungsvorschrift für eine n-te Ableitung fn(x) gilt. Hier seht ihr meine Vorgaben:

f(x) = e^{x+1} * (x+1)   ;   f ' (x) = e^{x+1} * (-x)   ;   f ''(x) = e^{x+1} * (x-1)   ;  f ''' (x) = e^{x+1} * (-x+2)

--> fn(x) = e^{x+1} * ((-1)^n * (x-n+1)

Den Induktionsanfang sowie Induktionsvoraussetzung sind kein Problem. Nun zu meiner Frage: Wie zeige ich die Gültigkeit im Induktionsschritt bzw. durch Umstellen der Induktionsbehauptung? Ich bin ziemlich am verzweifeln.

Ich muss das fertig bekommen.

(:

Comments

Sicher, dass die Ableitungen stimmen?

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Also ich hab die Ableitungen so von meinem Mathelehrer bekommen.

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Kann es sein, dass du es nicht mal geschafft hast die Funktion f(x) fehlerfrei zu notieren?

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Wenn \(f(x)=(x+1)e^{x+1}\) ist, dann ist \(f'(x)=(x+2)e^{x+1}\).

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Nun ja, als ich das Thema bekam, drückte mir mein Lehrer eine alte Matheklausur in die Hand, wo diese Funktion zu untersuchen war. Und diese steht genau so in meiner Frage.

f(x) = e^{x+1} * ((-1)^n * (x-n+1))

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Lautet die ursprüngliche Funktion vielleicht \(f(x)=(x+1)e^{-x+1}\)?

Answer 1

Induktionsschritt: n --> n + 1

fⁿ⁺¹(x) = (-1)^{n + 1}·e^{1 - x}·(x + 1 - (n + 1))

fⁿ⁺¹(x) = - (-1)^n·e^{1 - x}·(x - n)

fⁿ(x) = (-1)^n·e^{1 - x}·(x + 1 - n)

(fⁿ(x))' = (-1)^n·(-1)·e^{1 - x}·(x + 1 - n) + (-1)^n·e^{1 - x}·(1)

(fⁿ(x))' = - (-1)^n·e^{1 - x}·((x + 1 - n) - (1))

(fⁿ(x))' = - (-1)^n·e^{1 - x}·(x - n) = fⁿ⁺¹(x)