Question

Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion die folgenden

Aussagen für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1.

d) Sei x eine beliebige, positive reelle Zahl. Dann gilt:

x^n − nx + n − 1 ≥ 0

Answer 1

Fuer eine vollstaendige Induktion koennte man von $$x^n-nx+n-1\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad nx+1\le x^n+n$$ ausgehen. Induktionsschritt ginge dann so: $$(n+1)x+1=nx+1+x\stackrel{\text{IV}}{\le} x^n+n+x\stackrel{\text{!}}{\le} x^{n+1}+n+1.$$ Dass \(x^n+x\le x^{n+1}+1\) gilt und die Wunschungleichung damit auch, ist noch separat nachzurechnen.

Viel einfacher geht es ohne Induktion mit $$x^n-nx+n-1\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad x^n-1\ge n(x-1)$$ und der Summenformel für die endliche geometrische Reihe.