Etwa so...
\( d(t)=\sqrt{(x_a(t-x_b(t))^2} \)
\( d'(t)=0 => t=1/2 => d_{min}=d(1/2) = \mathbf{\frac{3}{\sqrt{2}}}\)
Zu dem Fehler in Deiner analytschen Lösung wirst Du sie wohl hier bekannt machen müssen..
Ergänzung:
Wir haben hier den Anstand in der zeiltichen Folge und nicht den Abstand zweier windschiefer Geraden - falls Deine Lösung darauf hinaus läuft?