Bei symmetrischen Flächen kann man leicht die Formel für Rotationskörper anwenden und benötigt nur 1 Integral. So ist die Fläche eines Kugelsegmentes bei Wikipedia gut beschrieben.
Mit h = r * (1- cos(b/(2r))) bekommt man auch eine schöne Formel in Abhängigkeit zum Bogendurchmesser b
Aber bei 2 sich überlappenden Kugelsegmenten mit unterschiedlichen Bogendurchmessern (wenn man auf der Erde mit Radius r steht, würde eine runde Insel den Bogen-Radius b/2 haben) kommt man nicht um Doppelintegrale herum. Außerdem kann der Winkel der beiden Kugelsegment-Mittelpunkte (zum Kugelmittelpunkt) beliebig sein. Bei genau 90° wäre es ja wieder einfach, da man für jede Fläche wieder die einfache Rotationskörper -Integralformel anwenden könnte.
Wo finde ich gute Beispiele für solche Doppelintegrale in Langform!? Gemeint sind nicht die abgekürzte Schreibweise vieler Professoren wie ∫∫ dA oder vorgegebene Kugelkoordinaten, sondern praktische Beispiele, wie man Schritt für Schritt zum Doppelintegral ∫∫ f(x,y) dx dy mit voller Angabe der Integrationsgrenzen kommt?
Das Integrieren selbst ist kein Problem (kann ich zur Not auch numerisch).
In der Elektrotechnik gab es auch viele Rechnungen mit "Fluss..." aber ich finde hier überall nur die abgekürzte Schreibweise. Bei runden Randgrenzen ist es auch kein Problem, ABER bei 2 überlappenden Kugelsegmenten finde ich keine mathematische Definition für die Randgrenze...
Oder kann man die 3D-Fläche in eine 2D-Fläche transformieren? Die Kugel könnte ja ein Einheitsrkeis mit r=1 sein, dann müsste man nur noch A= 2 Pi r² * (1-cos(b/2/r)) in die 2D-Welt bringen und könnte mit Flächen-Integralen weiterarbeiten...
Gegeben seien die beiden Bögen b1 und b2 (bzw. Bogenradius b/2 ). Abstand der Mittelpunkte entweder beliebig, oder ein Mittelpunkt liegt direkt am Kreisrand des anderen...
Gesucht ist die überlappende Fläche dieser 2 Kugelsegmente.
