Ebenengleichungen, Schnittpunkte, Skalarprodukte

Question

Ein Designer erhält von einer Süßwarenfirma den Auftrag, einen neue Schachtel für ihre Schokolinsen zu entwerfen. Der Entwurf sieht vor, dass die Schachtel Teil einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche ist. Durch den Schnitt mit einer geeigneten Ebene entsteht als Schnittfläche die viereckige Deckfläche der Schachtel. Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem hat die Grundfläche der Pyramide die Eckpunkte A(8l0l0), B(8l8l0), C(0l8l0) , D(0l0l0) ihre Spitze ist der Punkt S(0l0l8).

Die Schnittebene E₁ wir festgelegt durch die Punkte E(4l0l4), G(0l4l4), und H(0l0l5) (alle Angaben in cm)

Die Schachtel ist dann der Körper mit den Eckpunkten A, B, C, D, E, F, G, H

(1) Geben Sie die Höhe und Breite der Schachtel an

(2) Geben Sie eine Parametergleichung der Ebene E₁ und bestimmen Sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene

(3) Das Viereck EFGH bildet die Deckfläche der Schachtel. Bestimmen Sie die Koordinaten von Punkt F

(4) Ist die Deckfläche der Schachtel parallel zur Grundfläche?

(5) Entlang der beiden Diagonalen der Deckfläche (Viereck EFGH) soll die Schachtel geöffnet werden können. Zeigen Sie, dass die Diagonalen orthogonal sind.

Answer 1

(1) Geben Sie die Höhe und Breite der Schachtel an

Breite: Länge des Vektors AB gibt 8 cm  und Höhe DH gibt 5 cm

(2) Geben Sie eine Parametergleichung der Ebene E₁ und bestimmen Sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene

Parametergl. z.B.  x = DE + r*EG  + s * EH = (4/0/4) + r * (-4 / 4 / 0 ) + s * ( -4 / 0 / 1 )

Normalenvektor z.B. mit Kreuzprod. der Richtungsvektoren und dann kürzten gäbe (1/1/4),

also E :  x1 + x2 + 4x3 = 20

(3) Das Viereck EFGH bildet die Deckfläche der Schachtel. Bestimmen Sie die Koordinaten von Punkt F

Schneide die Ebene EGH ( Ergebnis von 2)  mit der Geraden durch S und B

gibt F ( 6 / 6 / 2 )

(4) Ist die Deckfläche der Schachtel parallel zur Grundfläche?

Grundfläche liegt in der x1-x2-Ebene, aber z.B. der eine Richtungsvektor von

E aus Teil 2)    ( -4 / 0 / 1 ) liegt nicht parallel zur x1x2_ebene, also auch die

Ebene EGH nicht und damit die Deckfläche nicht.

(5) Entlang der beiden Diagonalen der Deckfläche (Viereck EFGH) soll die Schachtel geöffnet werden können. Zeigen Sie, dass die Diagonalen orthogonal sind

Bilde die Vektoren EG und HF das gibt (-4/4/0) und (6/6/-3) also
ist deren Skalarprodukt = 0 , also Diagonalen orthogonal.