Beschreibung von Ebenen / Ebenengleichungen

Question

Hallo. Ich brauche die Parametergleichung für die folgenden Ebenen:

a. E1 ist die xy Ebene, x2 die yz Ebene und E3 die xz Ebene

b. E4 enthält den Punkt P 2 3 0 und verläuft parallel zur xz Ebene

c. E5 enthält den Punkt P -1 0 -1 und verläuft parallel zur xy Ebene

d. E6 enthält die Ursprungsgerade durch B 3 1 0 und steht senkrecht auf der xy Ebene

e. E7 enthält die Winkelhalbierende des 1. Quadranten der yz Ebene und steht senkrecht zur yz Ebene.

Kann mir jemand helfen, indem er mir eventuell erklärt, was die jeweiligen Aussagen für die Gleichungen bedeuten?

z.B. bei d wüsste ich, dass eine Ursprungsgerade aufjedenfall Durch 0|0|0 geht. Weitere Ideen habe ich nicht.
also ich würde mich über Ansätze sehr freuen, z.B. b) was heißt es für die Gleichung, wenn die Ebene parallel zu einer Ebene verläuft? in diesem Fall xz oder für b xy usw. oder bei e) was das mit der Winkelhalbierende heißen soll...
Also ich brauche generell Ansätze, damit ich das Ganze auch verstehen kann; ich will also nicht nur die Lösungen haben.

vielen Dank! :)

Answer 1

Hallo,

Für das Verständnis des ganze Themas, ist es extrem(!) hilfreich, sich Punkte, Vektoren, Ebenen und Geraden im Raum auch vorzustellen. Ggf. indem man es selber zeichnet oder sich Tools bedient - wie Geoknecht3D.

Du kannst auf jedes der Bilder hier in der Antwort drauf klicken, dann öffnet sich die Szene in Geoknecht3D und Du kannst die Szene mit der Maus drehen und bekommst dann einen besseren räumlichen Eindruck,

was heißt es für die Gleichung, wenn die Ebene parallel zu einer Ebene verläuft?

In der Parameterform einer Ebene bedeutet dies, dass beide Ebenen durch das gleiche Paar von Richtungsvektoren beschrieben werden können. \(E_3\) soll die XZ-Ebene sein - man kann sie also wie folgt darstellen$$E_3: \quad \vec x = r \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix} $$ Eine Ebene \(E_4\), die parallel zu \(E_3\) liegt, kann das gleiche Richtungsvektorenpaar haben. Lediglich der Stützvektor ist verschieden$$E_4 = \begin{pmatrix}2\\ 3\\ 0\end{pmatrix} +  r \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$$

Oben siehst Du die Ebene \(E_3\) (grün) mit den Richtungsvektoren im Ursprung und die Ebene \(E_4\) mit den zwar verschobenen, aber gleichen Vektoren. Ausgehend vom Stützpunkt \(A\).

Mache Dir klar, was so eine Ebenegleichung bedeutet. Sie ist im Grunde eine Funktion zweier Parameter \(r\) und \(s\). Durch die Wahl verschiedener Werte für \(r\) und \(s\) kannst Du jeden Punkt auf der Ebene erhalten. Aber in keinem Fall einen Punkt außerhalb der Ebene.

d. \(E_6\) enthält die Ursprungsgerade durch B(3; 1; 0) und steht senkrecht auf der xy Ebene

Schau Dir zunächst mal diese Szene an

Eine Ebene, die eine Ursprungsgerade enthält, enthält auch den Ursprung und folglich kann der Stützvektor auch der Ursprung sein. Bzw. man lässt ihn einfach weg, da er der Nullvektor ist. Enthält die Ebene die Gerade, so kann sie den Richtungsvektor der Geraden als eigenen Richtungsvektor übernehmen:$$\vec u = \begin{pmatrix}3\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$$ Steht sie senkrecht auf der XY-Ebene, kann sie in jedem Fall einen Richtungsvektor enthalten, der in Richtung der Z-Achse verläuft. Also$$ \vec v = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$$Alles zusammen ergibt dann$$E_6: \quad \vec x = r \begin{pmatrix}3\\ 1\\ 0\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$$

e. \(E_7\) enthält die Winkelhalbierende des 1. Quadranten der yz Ebene und steht senkrecht zur yz Ebene.

Eine neue Szene ...

Die Winkelhalbierende des 1.Quadranten der YZ-Ebene (oben blau eingezeichnet) verläuft mit der gleichen Koordinate in Y- wie in Z-Richtung. Also$$\vec u = \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$$Da die Ebene \(E_7\) senkrecht auf der YZ-Ebene stehen soll, ist der Richtungsvektor in X-Richtung die nächste Wahl$$\vec v = \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$$Da es wieder eine Ursprungsebene ist, können wir uns den Stützvektor wieder schenken. Und damit wird \(E_7\) dann$$E_7: \quad \vec x = r \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$$Ich kann Dir jetzt hier nicht ALLES erklären. Es ist sehr wichtig für das Verständnis, dass Du verstehst, was diese Ebenengleichung eigentlich bedeutet. Frage daher bitte konkret nach, wenn noch irgendwas nicht klar sein sollte.

Gruß Werner

Comments

Antwort erweitert.

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hallo vielen vielen Dank für die ausführliche Erklärung!

Answer 2

Es hilft sicher wenn du es dir mal aufzeichnest. Du weißt das senkrecht sowas wie im rechten Winkel zu bedeutet oder?

a. E1 ist die xy Ebene, x2 die yz Ebene und E3 die xz Ebene

E1: X = r * [1, 0, 0] + s * [0, 1, 0]
E2: X = r * [0, 1, 0] + s * [0, 0, 1]
E3: X = r * [1, 0, 0] + s * [0, 0, 1]

b. E4 enthält den Punkt P 2 3 0 und verläuft parallel zur xz Ebene

E4: X = [2, 3, 0] + r * [1, 0, 0] + s * [0, 0, 1]

c. E5 enthält den Punkt P -1 0 -1 und verläuft parallel zur xy Ebene

E5: X = [-1, 0, -1] + r * [1, 0, 0] + s * [0, 1, 0]

d. E6 enthält die Ursprungsgerade durch B 3 1 0 und steht senkrecht auf der xy Ebene

E6: X = r * [3, 1, 0] + s * [0, 0, 1]

e. E7 enthält die Winkelhalbierende des 1. Quadranten der yz Ebene und steht senkrecht zur yz Ebene.

E7: X = r * [0, 1, 1] + s * [1, 0, 0]

Comments

ja, das weiß ich
senkrecht heißt ja vertikal und "im rechten Winkel" heißt, denke ich, dass zwei 90Grad Winkel gebildet werden
aber
können Sie mir vielleicht trotzdem erklären, was es für die Gleichung heißt, wenn die Ebene parallel zu einer anderen Ebene ist, und was das mit der Winkelhalbierende heißt? Ich habe jetzt zwar die Lösungen, aber selber darauf gekommen wäre ich jz irgendwie nicht...
mir würden die Ansätze echt helfen, also wie man zu der Lösung kommt; was die Hintergedanken sind; in der Abiprüfung muss ich es ja können :(

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Zwei Ebenen sind parallel wenn sie überall den gleichen Abstand haben.

Eine Winkelhalbierende halbiert einen Winkel. In diesem Fall den Winkel den die beiden Achsen bilden.

Ich solltet eventuell gelernt haben das y = x die erste Winkelhalbierende der x-y-Ebene ist.

So könnte eine Skizze für b) aussehen