Es bezeichne \(N(\cdot)\) die Dichte einer normalverteilten Zufallsvariable mit Parametern \( \mu = 0 \) und \( \sigma = \frac{1}{\lambda} \) und \(G(\cdot)\) die Dichte einer gammaverteilten Zufallsvariablen, wobei beide Parameter \( \nu / 2\) sind.
Zu zeigen ist, dass ein unendlicher Mix von Normalverteilungen mit Gammaverteilungen als Gewichten in der folgenden Art
$$ f(x) = \int_0^\infty N(x) G(\lambda) \, d\lambda $$
einer \(t\)-Verteilung mit \( \nu \) Freiheitsgraden entspricht, d.h.
$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi \nu}} \frac{\Gamma\left( \frac{\nu +1}{2} \right) }{\Gamma\left( \frac{\nu}{2} \right) } \left( 1+\frac{x^2}{\nu} \right)^{-\frac{\nu + 1}{2}} .$$
Dabei bezeichnet \(\Gamma(\cdot) \) die Gammafunktion, d.h.
$$ \Gamma(x) = \int_0^1 (-\ln s)^{x-1}\, ds = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \, dt.$$
So, es gilt \(N(x) = \frac{\lambda}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{\lambda^2 x^2}{2}\right) \). Bei der Gammaverteilung gibt es jedoch zwei Parametrisierungen und ich weiß nicht welche gemeint ist. Die beiden Möglichkeiten wären
$$ G(\lambda) = \frac{ (\nu /2)^{\nu / 2} \lambda^{(\nu /2) - 1}}{\Gamma(\nu / 2)} \exp\left(-\frac{\nu}{2} \lambda\right) \tag{1}$$
$$ G(\lambda) = \frac{\lambda^{(\nu /2) - 1}}{\Gamma(\nu / 2) \cdot (\nu /2)^{\nu / 2}} \exp \left(-\frac{2}{\nu} \lambda \right) \tag{2}$$
allerdings halte ich die zweite für wahrscheinlicher, denn diese hat mich bis jetzt deutlich näher ans Ziel gebracht und deshalb verwende ich im folgenden auch die zweite.
Habe also erst mal die Verteilungen eingesetzt und erhalte so
$$ f(x) = \int_0^\infty \frac{\lambda}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{\lambda^2 x^2}{2}\right) \frac{\lambda^{(\nu /2) - 1}}{\Gamma(\nu / 2) \cdot (\nu /2)^{\nu / 2}} \exp \left(-\frac{2}{\nu} \lambda \right) \, d\lambda.$$
Mit der Substitution \( z = \lambda \Delta ~~(\Rightarrow \, dz=\Delta \, d\lambda,~~\lambda=z/\Delta) \) erhält man
$$ f(x) = \int_0^\infty \frac{z}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{z^2 x^2}{2\Delta^2} \right) \frac{1}{(\nu / 2)^{\nu / 2} \cdot \Gamma(\nu / 2)} \cdot \frac{z^{(\nu /2)-1}}{\Delta^{(\nu / 2) +1}} \exp\left( -\frac{2z}{\nu \Delta} \right) \, dz.$$
Da kann man jetzt schon einige Sachen, die man gebrauchen kann, rausziehen und erhält so
$$ f(x) = \frac{1}{\Gamma(\nu / 2)} (2\pi)^{-1/2} \underbrace{(\nu / 2)^{-\nu / 2}}_{\nu \text{ im Exponent doof}} \cdot \cdot \int_0^\infty \frac{z^{\nu / 2}}{\Delta^{(\nu / 2) + 1}} \exp\left( -\frac{z^2 x^2}{2\Delta^2} \right) \exp\left( -\frac{2z}{\nu \Delta} \right) \, dz.$$
Irgendwie muss man ja noch \( \Gamma\left( \frac{\nu +1}{2} \right) \) rauskriegen. Das Integral hat jedenfalls schon die passenden Grenzen dafür. Das Problem ist aber, dass wie oben schon steht, das \( \nu \) im Exponenten stört und mir noch weitere Terme fehlen, die ich irgendwie aus diesem Integral gewinnen muss. Leider habe ich keinen Plan, wie ich das anstellen könnte. Potenzgesetze anwenden und dann partiell integrieren habe ich schon probiert, der erste Summand wird 0 und das resultierende Integral ist widerlich. Allgemein ist hier partielle Integration denke ich nicht sehr erfolgsversprechend, da man ja eine Summe erhält aber am Ende ein Produkt rauskommen muss. Bin für jegliche Anregungen und Ideen dankbar!
