Beweise: Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten existiert genau eine Gerade, die diese beiden Punkte enthält.

Question

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten existiert genau eine Gerade, die diese beiden Punkte enthält.

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In welchem Zusammenhang (Formalismus?) sollst du das Beweisen? Das wird als Tatsache eigentlich in der Regel vorausgesetzt.

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Die genaue Frage war: Sei P=(x1,y1) und G= (x2,y2). Zeige dass es genau eine Gerade g gibt... Ich hatte den Tipp bekommen es mit einem Widerspruchsbeweis zu machen. Komme aber leider nicht weiter.

Answer 1

Es ist klar, dass eine derartige Gerade \(f(x)=ax+b\) existiert. Es bleibt die Eindeutigkeit zu zeigen. Sei also \(g(x)=mx+n\) ebenfalls eine Gerade, die die Punkte \(P\) und \(G\) enthält. Zu zeigen ist: \(a=m\) und \(b=n\). Es gilt$$(1)\quad y_1=f(x_1)=g(x_1)\Leftrightarrow ax_1+b=mx_1+n$$$$(2)\quad y_2= f(x_2)=g(x_2)\Leftrightarrow ax_2+b=mx_2+n$$Subtraktion liefert \((a-m)(x_1-x_2)=0\). Wegen \(x_1\ne x_2\) muss also \(a=m\) sein. Daraus folgt auch \(b=n\).

Answer 2

Ein linearer Raum ist ein Paar (X;Y) , wobei X eine Menge der Punkte und G eine Menge der Geraden eine 

Teilmenge der Potenzmenge 2 ^x ist mit folgender Eigenschaft : Zu je 2 Punkten x,y gibt es genau eine Gerade

g∈G mit x∈g und y∈g bezeichnet mit < x,y>  !!

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Ist das denn ein Beweis? Ist doch nur umformuliert oder? :)