Beweise: Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten existiert genau eine Gerade, die diese beiden Punkte enthält.

Question

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten existiert genau eine Gerade, die diese beiden Punkte enthält.

Comments

In welchem Zusammenhang (Formalismus?) sollst du das Beweisen? Das wird als Tatsache eigentlich in der Regel vorausgesetzt.

---

Die genaue Frage war: Sei P=(x1,y1) und G= (x2,y2). Zeige dass es genau eine Gerade g gibt... Ich hatte den Tipp bekommen es mit einem Widerspruchsbeweis zu machen. Komme aber leider nicht weiter.

Answer 1

Es ist klar, dass eine derartige Gerade \(f(x)=ax+b\) existiert. Es bleibt die Eindeutigkeit zu zeigen. Sei also \(g(x)=mx+n\) ebenfalls eine Gerade, die die Punkte \(P\) und \(G\) enthält. Zu zeigen ist: \(a=m\) und \(b=n\). Es gilt$$(1)\quad y_1=f(x_1)=g(x_1)\Leftrightarrow ax_1+b=mx_1+n$$$$(2)\quad y_2= f(x_2)=g(x_2)\Leftrightarrow ax_2+b=mx_2+n$$Subtraktion liefert \((a-m)(x_1-x_2)=0\). Wegen \(x_1\ne x_2\) muss also \(a=m\) sein. Daraus folgt auch \(b=n\).

Answer 2

Ein linearer Raum ist ein Paar (X;Y) , wobei X eine Menge der Punkte und G eine Menge der Geraden eine

Teilmenge der Potenzmenge 2 ^x ist mit folgender Eigenschaft : Zu je 2 Punkten x,y gibt es genau eine Gerade

g∈G mit x∈g und y∈g bezeichnet mit < x,y>  !!

Comments

Ist das denn ein Beweis? Ist doch nur umformuliert oder? :)